Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 235
Неизвестные µ и ν можно определить, подставив в (29.38) координаты точки
M:
2 + 2 · (−5) = −8 = µ,
−4 + 2 + 2 · 1 = 0 = ν.
С учетом этого из (29.37) получим уравнения
x
2
+ 2x
3
= −8,
−x
1
+ x
2
+ 2x
4
= 0
(29.39)
плоскости, которая перпендикулярна заданной и проходит через заданную точ-
ку M.
Можно проверить, что подстановка уравнений (29.37) в (29.39) обращает
последние в тождество, подтверждая правильность полученного решения.
Пример 29.9. Найти пло щадь треугольника ABC и длину высоты, опущенной
из точки B, если A(1, 2, 3), B(4, 1, 5) и C(3, 3, 2 ).
Решение. Найдем векторы:
−→
AB = (3, −1, 2) и
−→
AC = (2, 1, −1), тогда площа дь
треугольника ABC можно найти как половину площади параллелограмма, по-
строенного на векторах
−→
AB и
−→
AC. Площадь этого параллелограмма, согласно
(27.25), находится через определитель Грама:
S
пар
=
q
Γ(
−→
AB,
−→
AC) =
v
u
u
t
(
−→
AB,
−→
AB) (
−→
AB,
−→
AC)
(
−→
AC,
−→
AB) (
−→
AC,
−→
AC)
=
s
14 3
3 6
=
√
75.
Тогда площ адь треугольника ABC
S
ABC
=
1
2
S
пар
=
1
2
√
75.
Длину высоты h
B
, опущенной из точки B, найдем по формуле (29.34):
h
B
=
v
u
u
t
Γ(
−→
AB,
−→
AC)
(
−→
AB,
−→
AC)
=
r
75
6
=
p
12,5.
♦ Заметим, что площадь параллелограмма мы нашли без использования
векторного произведения векторов, как это принято в аналитической геомет-
рии:
S
пар
= |[
−→
AB,
−→
AC]|.
Воспользуемся этой ф ормулой для проверки полученного результата:
[
−→
AB,
−→
AC] =
~ı ~
~
k
3 −1 2
2 1 −1
= −~ı + 7~ + 5
~
k,
тогда
S
пар
= |[
−→
AB,
−→
AC]| =
√
1 + 49 + 25 =
√
75,
что совпадает с полученным выше значением.

Страницы