ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
236 Глава 6. Евклидово пространство
Пример 29.10. Найти объем трехмерного симплекса с вершинами A(1, 2, 3 ),
B(4, 1 , 5), C(3, 3 , 2), D(1, 2 , 3) и длину высоты, опущенной из вершины D на
грань ABC.
Решение. Трехмерный симплекс представляет собой четырехгранник, т.е. тре-
угольную пирамиду ABCD. Как известно из элементарной геометрии, ее объем
находится как V
ABCD
=
1
3
V
пар
, где V
пар
— объем параллелепипеда, построенного
на векторах
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD. Вычислим ко ординаты векторов:
−→
AB = (3, −1, 2)
⊺
,
−→
AC = (2 , −1, 1)
⊺
,
−−→
AD = (0, 0, 2)
⊺
. (29.40)
Теперь с помощью определителя Грама, согласно (27.2 5), найдем
V
пар
=
q
Γ(
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) =
(
−→
AB,
−→
AB) (
−→
AB,
−→
AC) (
−→
AB,
−→
AB)
(
−→
AC,
−→
AB) (
−→
AC,
−→
AC) (
−→
AC,
−−→
AD)
(
−−→
AD,
−→
AB) (
−−→
AD,
−→
AC) (
−−→
AD,
−−→
AD)
1/2
=
=
14 3 4
3 6 −2
4 −2 4
1/2
=
20 15 0
3 6 −2
10 10 0
=
p
2(200 − 150) =
√
100 = 10,
следовательно, V
ABCD
= 10/8.
Длину высоты h
D
найдем по формуле (29.35):
h
D
=
v
u
u
t
Γ(
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD)
Γ(
−→
AB,
−→
AC)
.
Значение определителя Грама Γ(
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) найдено только что, а определи-
тель Γ(
−→
AB,
−→
AC) найден в предыдущем примере. С учетом этого получим
h
D
=
r
100
75
=
r
4
3
=
2
√
3
.
♦ Отметим, что объем параллелепипеда мы на шли без использования сме-
шанного произведения векторов, как это принято в аналитической геометрии:
V
пар
= |(
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD)|, (
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) =
3 −1 2
2 1 −1
0 0 2
= 2
3 −1
2 1
= 2 · 5 = 10.
Результат совпадает с полученным выше.
Пример 29.11. Найти расстояние от точки M
′
(2, 5 , 0, 1 ) до гиперплоскости π
3
:
2x
1
+ x
2
+ 4x
3
− x
4
= 5.
Решение. Запишем уравнение гиперплоскости в параметрической форме:
~x = ~x
0
+ ~e
1
t
1
+ ~e
2
t
2
+ +~e
3
t
3
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- …
- следующая ›
- последняя »
