Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

238 Глава 6. Евклидово пространство
Как уже отмечалось, эта гиперплоскость получается параллельным переносом
гиперплоскости π
(0)
n−1
, проходящей через начало координат:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= (~a, ~x) = 0, (29.42)
на радиус-вектор ~x
0
= (x
01
, x
02
, . . . , x
0n
), координаты которого удовлетворяют
уравнению
a
1
x
01
+ a
2
x
02
+ . . . + a
n
x
0n
= (~a, ~x
0
) = b. (29.43)
Как известно, вектор ~a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
), составленный из коэффициентов
уравнения (29.42) гиперплоскости π
(0)
n−1
, является ее ортогональным дополнени-
ем (что, впрочем, следует и из (29.42)). Это означает, что вектор ~a ортогонален
не только плоскости π
(0)
n−1
, но и плоскости π
n−1
в силу их параллельности.
Положим
α = ±|~a| = ±
q
a
2
1
+ a
2
2
+ . . . + a
2
n
6= 0, (29.44)
причем знак выберем так, чтобы число b/α было неотрицательным:
b/α > 0.
Деление уравнения (29.41) на число α приводит его к виду
a
1
α
x
1
+
a
2
α
x
2
+ . . . +
a
n
α
x
n
−
b
α
= 0,
b
α
> 0. (29.45)
Уравнение (29.45) называется нормальны м уравнением гиперплоскости
π
n−1
.
С помощью единичного вектора
~m =
~a
α
=
a
1
α
,
a
2
α
, . . . ,
a
n
α
, |~m| =
|~a|
|α|
= 1,
коллинеарного вектору ~a , уравнение (29.45) можно записать как
(~m, ~x) −
b
α
= 0,
b
α
> 0. (29.46)
Единичный в ектор ~m, как и вектор ~a, перпендикулярен обеим гиперплоскостя м:
π
(0)
n−1
и π
n−1
.
Пусть теперь нам дана неко торая точка M
′
, координаты которой совпадают
с координатами радиус-вектора
−−→
OM
′
. Об означим их через (x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n
).
Точку M
′
можно рассматривать ка к сдвиг на вектор ~x
0
некоторой точки
M, координаты которой ра вны координатам радиус-вектора
−−→
OM. Этот вектор
можно разложит ь на его ортогональную проекцию ~y на плоскость π
(0)
n−1
и орто-
гональную составляющую ~z, т.е. перпендикуляр на эту же плоскость:
−−→
OM = ~y + ~z, ~y ∈ π
(0)
n−1
, ~z ⊥ π
(0)
n−1
. (29.47)
В таком случае искомое расстояние от точки M
′
до плоскости π
n−1
будет рав но
расстоянию от точки M до плоскости π
(0)
n−1
, которое, в свою очередь, равно длине
вектора ~z. Вектор ~z коллинеарен ~m, следовательно, найдется число h такое, что
~z = h~m. Так как ~m — единичный, то искомое расстояние, равное |~z|, равно |h|,
т.е. |~z| = |h|.

Страницы