ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
240 Глава 6. Евклидово пространство
30. Метод наименьших квадратов
Ортогональная проекция вектора ~x на подпространство или плоскость за-
данного евклидова пространства и соответствующая ортогональная составляю-
щая вектора ~x играют важную роль в самых разных приложениях: при рассмот-
рении несовместных систем линейных уравнений, интерполировании функций
полиномами, представлении периодических функций тригонометрическими по-
линомами (рядом Фурье), при изучении ортогональных полиномов и т.д.
Очевидно, что перечисленные задачи принадлежат различным разделам ма-
тематики и решаются методами, присущими этим разделам. С точки зрения
линейной алгебры, все эти задачи однотипны и фактически сводятся к задаче
о нахождении ортогональной проекции и ортогональной составляющей некото-
рого вектора. Ра ссмотрим некоторые из них более подробно.
I. Несовместные системы линейных уравнений
Пусть дана несовместная система линейных уравнений
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ . . . + a
1
m
x
m
= b
1
,
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
+ . . . + a
2
m
x
m
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
n
1
x
1
+ a
n
2
x
2
+ . . . + a
n
m
x
m
= b
n
.
(30.1)
Поскольку она несовместна, ее нельзя решить, т.е. нельзя найти такие числа
c
1
, c
2
, . . . , c
m
, чтобы при подстановке этих чисел вместо неизвестных x
1
, . . . , x
m
удовлетворя лись бы все уравнения системы (30.1). Таким образом, поскольку
говорить о точном решении системы (30.1) бессмысленно, то возникает вопрос
о ее приближенном решении. В этом случае ставится задача о нахождении чи-
сел c
1
, c
2
, . . . , c
m
, при которых левые ча сти уравнений (30.1) были бы возможно
более близки к соответствующим правым частям b
1
, b
2
, . . . , b
n
. В качестве «ме-
ры близости» берется так называемое квадратичное уклонение левых частей
уравнений от свободных членов, т.е. величина
δ
2
=
n
X
k=1
(a
k
1
c
1
+ a
k
2
c
2
+ . . . + a
k
m
c
m
− b
k
)
2
. (30.2)
Если ввести обозначения
β
1
= a
1
1
c
1
+ a
1
2
c
2
+ . . . + a
1
m
c
m
,
β
2
= a
2
1
c
1
+ a
2
2
c
2
+ . . . + a
2
m
c
m
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
β
n
= a
n
1
c
1
+ a
n
2
c
2
+ . . . + a
n
m
c
m
,
(30.3)
то условие (30.2) запишется в виде
δ
2
= (β
1
− b
1
)
2
+ (β
2
− b
2
)
2
+ . . . + (β
n
− b
n
)
2
(30.4)
или
δ =
p
(β
1
− b
1
)
2
+ (β
2
− b
2
)
2
+ . . . + (β
n
− b
n
)
2
. (30.5)
Задачу на минимум величины δ = δ(c
1
, c
2
, . . . , c
n
) можно решить непосредствен-
но. Однако ее решение получается немедленно, если истолковать задачу с точки
зрения векторных пространств.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- …
- следующая ›
- последняя »
