Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30. Метод наименьших квадратов 241
В самом деле, рассмотрим n-мерное евклидово пространство E
n
и в нем век-
торы
~a
1
=
a
1
1
a
2
1
. . .
a
n
1
, ~a
2
=
a
1
2
a
2
2
. . .
a
n
2
, . . . , ~a
m
=
a
1
m
a
2
m
. . .
a
n
m
,
~
b =
b
1
b
2
. . .
b
n
, (30.6)
координаты которых определяются системой уравнений (30.1). В пространстве
E
n
выделим подпространство E
m
(m < n) с базисом {~a
1
,~a
2
, . . . ,~a
m
}. Выписав
линейную комбинацию (30 .3 ) в векторной форме:
c
1
~a
1
+ c
2
~a
2
+ . . . + c
m
~a
m
=
~
β, (30.7)
мы получим вектор
~
β =
β
1
β
2
. . .
β
n
,
принадлежащий подпространству E
m
, поскольку он является линейной комби-
нацией его базисных векторов. С помощью векторов (30.6) исходная система
(30.1) запишется в виде
x
1
~a
1
+ x
2
~a
2
+ . . . + x
m
~a
m
=
~
b, (30.8)
аналогичном (30.7). Но в силу несовместности системы (30.1) равенство (30.8) не
выполняется для всех x
1
, . . . , x
m
и, следовательно, в ектор
~
b, будучи вектором
в пространстве E
n
, не принадлежит пространству E
m
, поскольку не является
линейной комбинацией в екторов ~a
1
,~a
2
, . . . ,~a
m
.
В такой интерпретации среднее квадратичное отклонение δ (30.5) опреде-
ляет норму разности векторов |
~
β −
~
b|, т.е. расстояние от вектора
~
b до подпро-
странства E
m
. Но это расстояние будет, как известно, наименьшим, если вектор
~
β является ортогональной проекцией вектора
~
b на подпространство E
m
, а тогда
величина |
~
β −
~
b| будет определяться как длина ортогональной составляющей
вектора
~
b на подпространство E
m
.
Таким образом, задача о приближенном решении несовместной системы (30.1)
с наименьшим квадратичным отклонением (30.5) равносильна задаче о нахож-
дении ортогональной проекции и ортогональной составляющей заданного век-
тора
~
b на подпространство E
m
. При этом коэффициенты c
1
, c
2
, . . . , c
m
линейной
комбинации (30.7), определяющие ортогональную проекцию, дают приближен-
ное решение исходной системы (30.1 ), а длина ортогональной составляющей
(перпендикуляра) дает оценку этого приближения — величину квадратичного
отклонения δ.
Именно такая задача была рассмотрена в примере 29.1 и свелась к решению
системы (29.5), которая в данном случае выглядит так:
c
1
(~a
1
,~a
1
) + . . . + c
m
(~a
m
,~a
1
) = (~x,~a
1
);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
c
1
(~a
1
,~a
m
) + . . . + c
m
(~a
m
,~a
m
) = (~x,~a
m
).
(30.9)
Решение этой системы получено в примере 29.1 и имеет вид
c
l
=
(~a
1
,~a
1
) ···(~a
1
,~a
l−1
)(~a
1
, ~x)(~a
1
,~a
l+1
) ···(~a
1
,~a
m
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(~a
m
,~a
1
) ···(~a
m
,~a
l−1
)(~a
m
, ~x)(~a
m
,~a
l+1
) ···(~a
m
,~a
m
)
Γ(~a
1
, . . . ,~a
l−1
,~a
l
,~a
l+1
, . . . ,~a
m
)
, l = 1, m. (30.10)

Страницы