ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30. Метод наименьших квадратов 243
(~a
2
,~a
1
) = (~a
1
,~a
2
) = 23, (~a
2
,~a
2
) = 1 + 4 + 9 = 14, (
~
b,~a
2
) = 1 + 6 + 15 = 22,
из (30.14) получим
38c
1
+ 23c
2
= 36,
23c
1
+ 14c
2
= 22.
(30.15)
Решим эту систему методом Крамера. Вычислив
∆ =
38 23
23 14
= 3, ∆
1
=
36 23
22 14
= −2, ∆
2
=
38 36
23 22
= 8,
найдем
c
1
=
∆
1
∆
= −
2
3
, C
2
=
∆
2
∆
=
8
3
. (30.16)
Такой же результат дают формулы (30.10). Эти значения и определяют при-
ближенное решение исходной системы:
x
1
≈ c
1
= −
2
3
, x
2
≈ c
2
=
8
3
. (30.17)
Зная c
1
и c
2
, можно найти вектор
~
β = c
1
~a
1
+ c
2
~a
2
= −
2
3
2
3
5
!
+
8
3
1
2
3
!
=
1
3
4
10
14
!
,
а следовательно, и разность
~
b −
~
β =
1
3
5
!
−
1
3
4
10
14
!
=
1/3
1/3
1/3
!
, (30.18)
норма (модуль) которой дает наименьшее квадратичное отклонение
δ = |
~
b −
~
β| =
r
1
3
2
+
1
3
2
+
1
3
2
=
1
√
3
, (30.19)
характеризующее надежность измерений.
♦ Отметим, что если в качестве c
1
и c
2
выбрать точные решения первых
двух уравнений: c
′
1
= −1, c
′
2
= 3, то
~
β
′
= c
′
1
~a
1
+ c
′
2
~a
2
= −
2
3
5
!
+ 3
1
2
3
!
=
1
3
4
!
и
~
b −
~
β
′
=
1
3
5
!
−
1
3
4
!
=
0
0
1
!
,
что дает квадратичное от клонение
δ
′
= |
~
b −
~
β
′
| =
√
0
2
+ o
2
+ 1
2
= 1 > δ =
1
√
3
,
большее, чем дает метод наименьших ква драт ов (30.19).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- …
- следующая ›
- последняя »
