ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
244 Глава 6. Евклидово пространство
2 способ. Воспользуемся методом нахождения экстремума функции многих
(в данном случае двух) переменных.
Исходим из основной ха ра ктеристики метода наименьших квадратов — квад-
ратичного отклонения δ, рассматривая его как функцию двух переменных:
δ = |
~
b − (c
1
~a
1
+ c
2
~a
2
)|,
которую с учетом (30.13) можно записать в виде
δ =
p
[1 − (2x
1
+ c
2
)]
2
+ [3 − (3c
1
+ 2c
2
)]
2
+ [5 − (5c
1
+ 3c
2
)]
2
.
Вычислив частные производные
∂δ
∂c
1
=
1
δ
{(1 − 2c
1
− c
2
)(−2) + (3 − 3c
1
− 2c
2
)(−3) + (5 − 5c
1
− 3 c
2
)(−5)},
∂δ
∂c
2
=
1
δ
{(1 − 2c
1
− c
2
)(−1) + (3 − 3c
1
− 2c
2
)(−2) + (5 − 5c
1
− 3 c
2
)(−3)}
и приравняв их к нулю:
∂δ
∂c
1
= 0,
∂δ
∂c
2
= 0,
придем к системе уравнений
38c
1
+ 23c
2
= 36,
23c
1
+ 14c
2
= 22,
совпадающей с (30.15), полученной 1-м способом. Далее, действуя аналогично,
придем к уже найденному решению.
II. Интерполяция функций
Пример 30.2. Пусть на отрезке [a, b] в точках x
j
∈ [a, b], j = 1, n, заданы
значения некоторой функции y(x
j
) = y
j
. Требуется указать полином P
k
(x),
k < n, для которого квадратичное отклонение
δ =
v
u
u
t
n
X
j=1
[P
k
(x
j
) − y
j
]
2
(30.20)
является наименьшим.
Решение. Задачу решаем методо м наименьших квадратов.
Пусть E
n
— евклидово пространство ф ункций y(x), рассматриваемых только
в точках x
j
, j = 1, n, со скалярным произведением
(f(x), g(x)) =
n
X
j=1
f(x
j
)g(x
j
). (30.21)
Тогда наша задача сведется к определению ортогональной проекции вектора
~y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) на пространство всех полиномов степени, не превосходящей
k < n. Коэффициенты искомого полинома
P
k
(x) = c
0
+ c
1
x + . . . + c
k
x
k
(30.22)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- …
- следующая ›
- последняя »
