Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30. Метод наименьших квадратов 245
найдутся из системы нормальных уравнений, аналогичных (30.9), которые в
данном случае будут иметь вид
c
0
(1, 1) + c
1
(x, 1) + . . . + c
k
(x
k
, 1) = (y, 1),
c
0
(1, x) + c
1
(x, x) + . . . + c
k
(x
k
, x) = (y, x),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
c
0
(1, x
k
) + c
1
(x, x
k
) + . . . + c
k
(x
k
, x
k
) = (y, x
k
).
(30.23)
Ее решение задается формулами, аналогичными (30.10), а само наименьшее
отклонение — по формуле, аналогичной (30.11).
Пример 30.3. Экспериментально получены пять значений искомой функции
y = y(x) для пяти значений аргумента, которые представлены таблицей:
x
j
1 2 3 4 5
y
j
5,1 6,1 4,6 2,6 3,1
Методом наименьших квадратов найти линейной полином P
1
(x) = c
0
+ c
1
x,
представляющий функцию y(x).
Решение. 1-й способ. Исходя из условий задачи, выпишем систему ( 30.23):
c
0
(1, 1) + c
1
(x, 1 ) = (y, 1),
c
0
(1, x) + c
1
(x, x) = (y, x).
(30.24)
Вычислим, согласно (30.1 8):
(1, 1) = 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 = 5,
(x, 1 ) = 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 1 + 5 · 1 = 15,
(x, x) = 1
1
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
= 55,
(y, 1) = 5,1 + 6,1 + 4,6 + 2,6 + 3,1 = 21,5,
(y, x) = 5,1 · 1 + 6,1 · 2 + 4,6 · 3 + 2,6 · 4 + 3,1 · 5 = 57.
Из (30.24) получим
5c
0
+ 15c
1
= 21,5,
15c
0
+ 55c
1
= 57.
(30.25)
Решив эту систему (или воспользовавшись формулой, аналогичной (30.10)),
найдем
c
0
= 6,55, c
1
= −0,75.
Стало быть, иско мый полином имеет вид
y(x) ≈ P
1
(x) = 6,55 − 0,75x. (30.26)
Чтобы найти квадратичное о тклонение, можно воспользоваться либо формулой
(30.18), либо формулой
δ =
s
Γ(1, x, y)
Γ(1, x)
=
5 15 21,5
15 55 57
21,5 57 100,75
1/2
5 15
15 55
1/2
=
r
133,75
50
=
p
2,675 = 1,63 5 .
(30.27)
Кроме того, вычислив значения полинома:
P
1
(x
1
) = P
1
(1) = 6,55 − 0,75 · 1 = 5,8; P
1
(2) = 5,05;
P
1
(3) = 4,3; P
1
(4) = 3,55; P
1
(5) = 2,8,
(30.28)

Страницы