ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30. Метод наименьших квадратов 247
Пусть f(x) — некоторая непрерывная функция, заданная на интервале ]0, 2π[.
В некоторых приложениях зачастую требуется подобрать тригонометрический
полином (30.29) заданного порядка n, возможно меньше отличающийся от f(x).
В качестве меры отклонения P
n
(x) от f(x) выбирается квадратичное отклоне-
ние
δ =
v
u
u
u
t
2π
Z
0
[f(x) − P
n
(x)]
2
dx. (30.30)
Введем в рассмотрение евклидово пространство E функций, непрерывных
на интервале ]a, b[. Скалярное произведение в этом пространстве функций, как
обычно, зададим интегралом
(f(x), g(x)) =
b
Z
a
f(x)g(x)dx, (30.31)
тогда длина вектора f(x) находится как
|f(x)| =
p
(f(x), f(x)) =
v
u
u
u
t
b
Z
a
f
2
(x)dx.
Но в таком случае квадратичное от клонение (30.30) в рассматриваемом про-
странстве (a = 0, b = 2π) есть расстояние от f(x) до P
n
(x). Тригонометрические
полиномы порядка n (30.29) образуют в этом пространстве подпространство
E
2n+1
. В такой интерпретации задача заключается в том, чтобы найти вектор
из E
2n+1
, лежащий на минимальном расстоянии от вектора f(x). Эта задача
снова решается построением перпендикуляра из точки f(x) на подпростран-
ство E
2n+1
. В качестве ортонормированного базиса этого подпространства, как
известно, можно выбрать функции
e
0
=
1
√
2π
, e
1
=
cos x
√
π
, e
2
=
sin x
√
π
, . . . , e
2n−1
=
cos nx
√
π
, e
2n
=
sin nx
√
π
. (30.32)
Тогда решением задачи является ортогональная проекция
P
n
(x) = c
0
e
0
+ c
1
e
1
+ c
2
e
2
+ . . . + c
2n−1
e
2n−1
+ c
2n
e
2n
, (30.33)
где c
k
— решения системы нормальных уравнений (30.10), которая в силу ор-
тонормированности e
k
(x) имеет вид
c
k
= (f(x), e
k
(x)),
а с учетом я вного вида (30.32 ) и скалярного произведения (30.31):
c
0
=
1
√
2π
2π
Z
0
f(x)dx,
c
2k− 1
=
1
√
π
2π
Z
0
f(x) cos kx dx, (30.34)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- …
- следующая ›
- последняя »
