Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 248 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

248 Глава 6. Евклидово пространство
c
2k
=
1
√
π
2π
Z
0
f(x) sin kx dx.
Подставив одновременно (30.32 ) и (30.34) в (30.33), получим
P
n
(x) =
a
0
2
+
n
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx), (30.35)
где обозначено
a
k
=
1
π
2π
Z
0
f(x) cos kx dx, k = 0, n;
b
k
=
1
π
2π
Z
0
f(x) sin kx dx, k = 1, n.
(30.36)
Эти коэффициенты принято называть коэффициентами Фурье функции f (x).
Таким образом, тригонометрический полином порядка n (30.29) имеет ми-
нимальное квадратичное отклонение, если его коэффициентами являют ся ко-
эффициенты Фурье (30.3 6). Задача допускает обобщение при n → ∞ к ряду
Фурье (см. [7]).
31. Операторы в ев клидо вом пространстве
Среди операторов, действующих в евклидовом пространстве, наибольший
интерес вызывают о ртогональные и симметричные операторы.
Оператор
b
A, действующий в евклидовом пространстве E, называется изо-
метрическим (ортогональным), если для любых ~x, ~y ∈ E справедливо
(
b
A~x,
b
A~y) = (~x, ~y) . (31.1)
Другими словами, он сохраняет метрику пространства.
Теорема 31.1. В любом ортонормированном базисе ~e
k
матрица A ортого-
нального (изометрического) оператора является ортогональной.
Доказательство. Действительно, пусть ~e
k
— ортонормированный базис. Пусть
X =
x
1
.
.
.
x
n
, Y =
y
1
.
.
.
y
n
,
A — матрица оператора
b
A в этом базисе. Тогда вектор
b
A~x имеет координаты
AX, а вектор
b
A~y координаты AY . Но скалярные произведения векторов
b
A~y и
b
A~x равны (31.1). С другой стороны,
(
b
A~x,
b
A~y) = (AX)
⊺
AY = X
⊺
A
⊺
AY = X
⊺
Y.
В силу произвольности векторов X, Y получим
A
⊺
A = I,

Страницы