Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

250 Глава 6. Евклидово пространство
Доказательство. П усть x
1
и ~x
2
— собственные векторы оператора
b
A, отвеча-
ющие различным собств енным значениям
b
A~x
1
= λ
1
~x
1
,
b
A~x
2
= λ
2
~x
2
. Тогда
(~x
2
,
b
A~x
1
) = λ
1
(~x
2
, ~x
1
). (31.4)
С другой сто ро ны,
(~x
2
,
b
A~x
1
) = (
b
A~x
2
, ~x
1
) = (λ
2
~x
2
, ~x
1
) = λ
∗
2
(~x
2
, ~x
1
) = λ
2
(~x
2
, ~x
1
). (31.5)
Так как
b
A — самосопряженный оператор, то
(~x
2
,
b
A~x
1
) = (~x
1
,
b
A~x
2
).
Следовательно, вычтя (31.5) из (31.4), получим
0 = (λ
1
− λ
2
)(~x
1
, ~x
2
),
откуда следует
(~x
2
, ~x
1
) = 0.
Теорема 31.5. У каждого самосопряженного оператора
b
A, действующего в
n-мерном евклидовом п ространстве E, существует n линейно независимых
попарно ортогональных (нормированных) собственных векторов.
Доказательство непосредственно следует из теоремы Жордана, поскольку у
самосопряженных операторов отсутствуют присоединенные векторы.

Страницы