Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

31. Операторы в евклидовом пространстве 249
что и требовалось доказать.
Оператор
b
B, действующий в евклидовом пространстве E, называется со-
пряженным к линейному оператору
b
A, если для любых ~x, ~y ∈ E справедливо
(
b
B~x, ~y) = (~x,
b
A~y). (31.2)
Для обозначения сопряженных операторов используется символ
b
A
+
.
Свойства сопряженных операторов:
1.
b
E
+
=
b
E;
2. (
b
A +
b
B)
+
=
b
A
+
+
b
B
+
;
3. (α
b
A)
+
= α
∗
b
A;
4. (
b
A
+
)
+
=
b
A;
5. (
b
A
b
B)
+
=
b
B
+
b
A
+
.
Докажем, например, свойства 3 и 5 для произвольных векторов ~x, ~y ∈ E.
3. По определению,
(~y, (
b
Aα)
+
~x) = (α
b
A~y, ~x) = α
∗
(
b
A~y, ~x) = α
∗
(~y,
b
A
+
~x) = (~y, α
∗
b
A
+
~x).
5. По определению,
(~y, (
b
A
b
B)
+
~x) = ((
b
A
b
B)~y, ~x) = (
b
A
b
B~y, ~x) = (
b
B~y,
b
A
+
~x) = (~y,
b
B
+
b
A
+
~x).
Линейный оператор
b
A называется самосопряженным, если
b
A
+
=
b
A. (31.3)
Теорема 31.2. Если оператор
b
A — самосопряженный, то для любого ~x ∈ E
скалярное произведение (A~x, ~x) есть вещественное число.
Доказательство. Действительно,
(
b
A~x, ~x)
∗
= (~x,
b
A~x) = (
b
A
+
~x, ~x) = (
b
A~x, ~x),
что и требовалось доказать.
Теорема 31.3. Собственные значения самосопряженного операт ора веществен-
ны.
Доказательство. Собственные значения оператора
b
A определяются соотноше-
ниям
b
A~x = λ~x. Поскольку
b
A
+
=
b
A, то
(~x,
b
A~x) = (~x, λ~x) = λ(~x, ~x) = λk~xk
2
.
Так ка к k~xk
2
и (~x,
b
A~x) вещественны, то и λ — вещественное число.
Теорема 31.4. Если
b
A — самосопряженный оператор, то собственные век-
торы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Страницы