Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

242 Глава 6. Евклидово пространство
Вычислив по этим формулам величины c
1
, c
2
, . . . , c
m
, мы можем по формуле
(30.7) найти вектор
~
β. Если оба вектора:
~
β и
~
b известны, из равенства (30.5)
можно найти δ. Замечательно, что величину δ можно найти независимо о т век-
тора
~
β, если воспользоваться формулой (29.5) для вычисления длины перпен-
дикуляра, которая в данном случае имеет вид
δ =
s
Γ(~a
1
,~a
2
, . . . ,~a
m
,
~
b)
Γ(~a
1
,~a
2
, . . . ,~a
m
)
. (30.11)
♦ Предварительная оценка (30.11) зачастую позволяет принять решение о
целесообразности нахождения решения системы (30.1) в рамках такого прибли-
жения.
Таким образом, приближенное решение несовместной системы (30.1) в тер-
минах линейных пространств сводится к решению системы нормальных урав-
нений (30.9). Именно ее решение в виде (3 0.10) обеспечивает минимальное зна-
чение квадратичного отклонения δ.
♦ Величина δ, согласно (30.5), будет наименьшей, если наименьшими бу-
дут все квадраты, входящие в сумму (30.5). По этой причине указанный метод
называется методом наимень ших квадратов.
Пример 30.1. В экспериментах по определению некоторых величин x
1
и x
2
из
результатов измерений в силу их погрешности получена следующая несовмест-
ная система уравнений:
2x
1
+ x
2
= 1,
3x
1
+ 2x
2
= 3,
5x
1
+ 3x
2
= 5.
(30.12)
Методом наименьших квадратов найти приближенные значения искомых вели-
чин x
1
и x
2
.
Решение. Несовместность системы (3 0.12) очевидна, поскольку расширенная
матрица системы простейшим элементарным преобразованием приводится к
противоречивому виду
2 1
3 2
5 3
1
3
5
!
∼
S
3
−(S
1
+S
2
)
2 1
3 2
0 0
1
3
1
!
(сумма первых двух уравнений несовместна с третьим).
1 способ. Воспользуемся методом наименьших квадратов.
Чтобы найти решение этим методом, в пространстве E
3
, исходя из (30.12),
выпишем векторы
~a
1
=
2
3
5
!
, ~a
2
=
1
2
3
!
,
~
b =
1
3
5
!
, ~a
1
,~a
2
∈ E
2
,
~
b /∈ E
2
, (30.13)
по которым составляем систему нормальных уравнений (3 0.9):
(~a
a
,~a
1
)c
1
+ (~a
2
,~a
1
)c
2
= (
~
b,~a
1
),
(~a
1
,~a
2
)c
1
+ (~a
2
,~a
2
)c
2
= (
~
b,~a
2
).
(30.14)
Вычислив
(~a
1
,~a
1
) = 4 + 9 + 25 = 38, (~a
2
,~a
1
) = 2 + 6 + 15 = 23, (
~
b,~a
1
) = 2 + 9 + 25 = 36,

Страницы