Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30. Метод наименьших квадратов 239
Итак, имеем два равенства:
−−→
OM
′
= ~x
0
+
−−→
OM,
−−→
OM = ~y + ~z = ~y + h~m.
Подставив вт орое уравнение в первое:
−−→
OM
′
= ~x
0
+ ~y + h ~m
и умножив полученное уравнение на вектор ~m, запишем
(
−−→
OM
′
, ~m) = (~x
0
, ~m) + (~y, ~m) + h(~m, ~m).
Так как ~y ⊥ ~m (~y ∈ π
(0)
n−1
⊥ ~m), то (~y, ~m) = 0, а (~m, ~m) = |~m|
2
= 1 и (~x
0
, ~m) = b/α.
Учтя это, получим
(
−−→
OM
′
, ~m) =
b
α
+ 0 + h,
откуда
h = (
−−→
OM
′
, ~m) −
b
α
.
Учтем теперь, что
(
−−→
OM
′
, ~m) =
−−→
OM
′
,
~a
α
=
1
α
(
−−→
OM
′
,~a) =
1
α
(a
1
x
′
1
+ a
2
x
′
2
+ . . . + a
n
x
′
n
),
найдем
h =
1
α
[a
1
x
′
1
+ a
2
x
′
2
+ . . . + a
n
x
′
n
− b]
и, соответственно,
|h| =
|a
1
x
′
1
+ a
2
x
′
2
+ . . . + a
n
x
′
n
− b|
p
a
2
1
+ a
2
2
+ . . . + a
2
n
. (29.48)
♦ Таким образом, что бы найт и расстояние от точки до гиперплоскости, нуж-
но подставить координаты этой точки в левую часть нормального уравнения
гиперплоскости (29.46) и найти модуль полученного значения.
Пример 29.12. Найти расстояние от точки M
′
(2, 5, 0, 1) до гиперплоскости π
3
:
2x
1
+ x
2
+ 4x
3
− x
4
= 5 . (29.49)
Решение. Уравнение гиперплоскости запишем в нормальном виде. Поскольку
~a = (2, 1, 4, −1) и b = 5, то |~a| =
√
4 + 1 + 16 + 1 =
√
22. Теперь, подставив в
(29.49) координаты точки M
′
, согласно ( 29.48), найдем искомое расстояние
|h| =
|2 · 2 + 1 · 5 + 4 · 0 − 1 · 1 − 5|
√
22
=
3
√
22
.
Этот же результат получен в примере 29.11 гораздо более громоздким способом.

Страницы