Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 237
где
~e
1
=
1
−2
0
0
, ~e
2
=
0
−4
1
0
, ~e
3
=
2
0
0
1
— базис направляющего подпространства гиперплоскости, а радиус-вектор
~x
0
=
0
5
0
0
определяет координаты точки O
′
, через которую проходит гиперплоскость π
3
при t
1
= t
2
= t
3
= 0. Разность
−−−→
O
′
M
′
=
−−→
OM
′
−~x
0
=
2
5
0
1
−
0
5
0
0
=
2
0
0
1
определяет вектор
−−−→
O
′
M
′
, начало кот орого принадлежит гиперплоскости π
3
, а
конец совпадает с точкой M
′
. Тогда по формуле (29.35) найдем искомое рассто-
яние
h =
s
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
,
−−−→
O
′
M
′
)
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)
.
Вычислив
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
,
−−−→
O
′
M
′
) =
5 8 −2 2
8 17 −4 0
−2 −4 2 1
2 0 1 5
=
9 16 −6 0
8 17 −4 0
−2 −4 2 1
12 20 −9 0
= −
9 16 −6
8 17 −4 0
12 20 −9
=
= −
1 −1 −2
8 17 −4
4 3 −5
= −
1 −1 −2
0 25 12
0 7 3
= −
25 12
7 3
= −(75 − 84) = 9;
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) =
9 16 −6
8 17 −4
−2 −4 2
=
4 3 0
4 9 0
−2 −4 2
= 2
3 4
4 9
= 2(27 − 16 ) = 22,
получим
h =
r
9
22
=
3
√
22
.
Вычисление расстояния от точки до плоскости в пространстве A
n
по форму-
ле (29.35) усложняется с ростом размерности заданной плоскости и станов ит ся
наиболее громоздким для плоскостей наибольшей размерности, т.е. гиперплос-
костей π
n−1
. Оказывается, расстояние от заданной точки до гиперплоскости
можно найти, не вычисляя определитель Грама, а непосредственно из самого
уравнения плоскости, если привести его к виду, называемому нормальным. Это
можно сделать следующим образом.
Пусть гиперплоскость π
n−1
определена уравнением
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= (~a, ~x) = b. (29.41)

Страницы