Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Ортогональность элементов векторного евклидова пространства 213
Теперь выпишем квадратичную форму для матрицы Γ
2
:
(~x, ~x) = (x
1
x
2
)
1 1
1 2
x
1
x
2
= (x
1
x
2
)
x
1
+ x
2
x
1
+ 2x
2
=
= x
1
(x
1
+ x
2
) + x
2
(x
1
+ 2x
2
) = x
2
1
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
+ x
2
2
.
Сумма квадратов всегда положительна и обращается в нуль только при x
1
=
x
2
= 0. Это означает, что матрица Γ
2
порождает положительно определенную
квадратичную форму, что и т ребовалось показать.
♦ Тот факт, что матрица Γ
2
не определяет скалярное произведение, следует
еще и из того, что она содержит нулевые диагональные элементы, которые,
согласно (26.4), соответствуют скалярным произведениям базисных векторов
(~e
j
, ~e
j
) и, согласно аксиоме 4, не могут обращаться в нуль, поскольку базисные
векторы ~e
j
6= 0, j = 1, n.
♦ Единичная матрица Грама Γ = I приводит к положительно определенной
квадратичной форме
~x
⊺
Γ~x = ~x
⊺
~x = x
2
1
+ x
2
2
+ . . . + x
2
n
,
соответствующей скалярному произведению вида
(~x, ~y) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
n
y
n
. (26.8)
27. Ортогональность элементов
векторного евклидова пространства
Векторы в евклидовом пространстве называются ортогональными, если
их скалярное произведение равно нулю.
Система векторов ~x
j
, j = 1, k, называется ортогональной, если
(~x
j
, ~x
l
) = 0, j, l = 1, k, (27.1)
для всех j 6= l.
Система векторов ~x
j
, j = 1, k, называется ортонормированной, если
(~x
j
, ~x
l
) = δ
jl
, j, l = 1, k. (27.2)
Длиной (или нормой) вектора ~x ∈ E называется число
|~x| =
p
(~x, ~y). (27.3)
Вектор ~x ∈ E единичной длины называется единичным, или нормирован-
ным.
Теорема 27.1 (Пифагора). Если два вектора ~x и ~y являются ортогональ-
ными, то квадрат длины вектора, являющегося их су ммой, равен сумме квад-
ратов длин слагаемых векторов:
|~x + ~y|
2
= |~x|
2
+ |~y|
2
. (27.4)
Доказательство. По определению
|~x + ~y|
2
= (~x + ~y, ~x + ~y) = (~x, ~x) + (~x, ~y) + (~y, ~x) + (~y, ~y).
Поскольку |~x|
2
= (~x, ~x), |~y|
2
= (~y, ~y), (~x, ~y) = 0, получим
|~x + ~y|
2
= |~x|
2
+ |~y|
2
,
что и требовалось доказать.

Страницы