Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

208 Глава 5. Линейные операторы
25. Билинейные и квадратичные формы
Числовая функция A(~x, ~y), аргументами которой являются все возможные
упорядоченные пары векторов ~x, ~y, вещественного линейного пространства L
называется билинейной формой, если для всех векторов ~x, ~y, ~z ∈ L и любого
вещественного числа α выполняются соотношения
A(~x + ~z, ~y) = A(~x, ~y) + A(~z, ~y);
A(α~x, ~y) = αA(~x, ~y);
A(~x, ~y + ~z) = A(~x, ~y) + A(~x, ~z);
A(~x, α~y) = αA(~x, ~y).
(25.1)
Первые два равенства означают линейность функции A(~x, ~y) по первому аргу-
менту, последние два — линейность по второму аргументу.
Теорема 25.1. Билинейная форма A(~x, ~y) при заданном в линейном простран-
стве L базисе {~e
j
}
n
j=0
может быть представлена в следующем виде:
A(~x, ~y) =
n
X
j,k=1
a
jk
x
j
y
k
= X
⊺
AY, (25.2)
где a
jk
= A(~e
j
, ~e
k
), а
X =
x
1
.
.
.
x
n
, Y =
y
1
.
.
.
y
n
— матрицы, составленные из координат векторов ~x и ~y в базисе ~e
j
.
Доказательство. Разложим векторы ~x и ~y по б азису ~e
j
:
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
, ~y =
n
X
k=1
y
k
~e
k
.
В силу линейности
A(~x, ~y) = A
n
X
j=1
x
j
~e
j
,
n
X
k=1
y
k
~e
k
=
n
X
j,k=1
x
j
y
k
A(~e
j
, ~e
k
),
что и требовалось доказать.
Матрица A = kA(~e
j
, ~e
k
)k называется матрицей билинейной формы A(~x, ~y)
в базисе ~e
j
, j = 1, n.
Билинейная форма называется симметричной, если для всех ~x, ~y ∈ L
справедливо
A(~x, ~y) = A(~y, ~x). (25.3)
Теорема 25.2. Если билинейная форма симметрична, то ее матрица в лю-
бом базисе будет симметричной, т.е.
A
⊺
= A. (25.4)

Страницы