Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Канонический вид линейного оператора 197
♦ Если n × n матрица A линейного оператора
b
A вещественна и имеет ком-
плексное собственное значение λ
k
= α
k
+ iβ
k
, где α
k
= Re λ
k
, β
k
= Im λ
k
, то
нетрудно заметить, что λ
∗
k
= α
k
−iβ
k
та кже будет собственным значением мат-
рицы A. Представив каждый вектор ~g
(m
i
)
l
i
в виде
~g
(m
i
)
l
i
= ~u
(m
i
)
l
i
+ i~v
(m
i
)
l
i
, ~u
(m
i
)
l
i
, ~v
(m
i
)
l
i
∈ R
n
,
жорданову цепочку можно записать следующим образом:
b
A~u
(1)
k
= α
k
~u
(1)
k
− β
k
~v
(1)
k
,
b
A~v
(1)
k
= α
k
~v
(1)
k
+ β
k
~u
(1)
k
,
b
A~u
(m)
k
= α
k
~u
(m)
k
− β
k
~v
(m)
k
+ ~u
(m−1)
k
,
b
A~v
(m)
k
= α
k
~v
(m)
k
+ β
k
~u
(m)
k
+ ~v
(m−1)
k
,
(24.8)
k = 1, n, m = 2, n
k
.
Тогда в базисе векторов {~g
(m
i
)
l
i
}, заменив каждую пару комплексно сопряжен-
ных векторов их действительной и мнимой частями, получим новый веществен-
ный базис {
˜
~g
(m
i
)
l
i
}. В этом базисе мат рица
e
A
0
линейного оператора
b
A также
будет иметь блочно-диагональный вид, который получается из (24 .4) заменой
(2n
k
) × (2n
k
) комплексного блока
J
k
(λ
k
) 0
0 J
k
(λ
∗
k
)
на (2n
k
) × (2n
k
) вещественный блок
J
k
(α
k
, β
k
) =
α
k
β
k
1 0 . . . 0 0 0 0
−β
k
α
k
0 1 . . . 0 0 0 0
0 0 α
k
β
k
. . . 0 0 0 0
0 0 −β
k
α
k
. . . 0 0 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . α
k
β
k
1 0
0 0 0 0 . . . −β
k
α
k
0 1
0 0 0 0 . . . 0 0 α
k
β
k
0 0 0 0 . . . 0 9 −β
k
α
k
. (24.9)
Действительно, если из векторов вещественного базиса {
˜
~g
(m
i
)
l
i
} составить мат-
рицу
e
S, то из (24.8) немедленно следует
b
A
e
S =
e
S
e
A
0
,
e
A
0
=
e
S
−1
AS.
♦ Матрица
e
A
0
является вещественным аналогом жордановой формы матри-
цы A линейного оператора
b
A.
Пример 24.2. Пусть о ператор
b
A в некотором базисе имеет матрицу
a) A =
2 1 −1
0 3 −1
0 1 1
!
; б) A =
1 −1
1 3
; в) A =
2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2
!
;
г) A =
5 1 0
−2 −3
; д) A =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 −2 0
; е) A =
4 7 −5
−4 5 0
1 9 −4
!
.
Найти собственные и присоединенные векторы оператора A.

Страницы