Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Канонический вид линейного оператора 195
Вектор ~g называется присоединенным вектором оператора
b
A, отвечаю-
щим собственному значению λ, если для некоторого m > 1 справедливы соот-
ношения
(
b
A − λ
b
E)
m
~g 6= 0, (
b
A − λ
b
E)
m+1
~g = 0. (24.1)
Число m называется порядком присоединенного элемента, или весом.
♦ Из определения следует, что если ~g — присоединенный элемент порядка m,
отвечающий собственному значению λ, то вектор ~y = (
b
A−λ
b
E)
m
~g — собственный
вектор оператора
b
A с тем же собств енным значением.
Теорема 24.1 (Жордана). Пусть
b
A — линейный оператор, действующий в
линейном пространстве L. Существует базис
{~g
(m)
k
}, k = 1, l, m = 1, n
k
,
l
X
k=1
n
k
= n, (24.2)
образованный собственными и присоединенными векторами оператора
b
A, в ко-
тором действие оператора
b
A описывается следующими соотношениями:
b
A~g
(1)
k
= λ
k
~g
(1)
k
, k = 1, l;
b
A~g
(m)
k
= λ
k
~g
(m)
k
+ ~g
(m−1)
k
, k = 1, l, m = 2, n
k
.
(24.3)
Система уравнений (24.3), определяющая собственные и присоединенные
векторы ~g
(m
i
)
l
i
, называется жордановой цепочкой.
Следствие 24.1.1. Матрица A линейного оператора
b
A в ба зисе {~g
(m)
k
} имеет
следующий блочно-диагональный («клеточный») вид:
A
0
=
J
1
(λ
1
) 0 . . . 0
0 J
2
(λ
2
) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
l
(λ
l
)
, (24.4)
где клетка J
k
(λ
k
) представляет собой следующую матрицу:
J
k
(λ
k
) =
λ
k
1 0 . . . 0
0 λ
k
1 . . . 0
0 0 λ
k
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . λ
k
(24.5)
размерности n
k
× n
k
.
Доказательство. Составим матрицу
S = (~g
(1)
1
~g
(2)
1
. . . ~g
(n
1
)
1
~g
(1)
2
. . . ~g
(n
l
)
l
).
Из (24.3) следует, что
b
AS = SA
0
, следовательно A
0
= S
−1
AS, что и требовалось
показать.
Форма (24.4) матрицы A линейного оператора
b
A называется жордановой
формой матрицы этого оператора. При этом клетка J
k
(λ
k
) (24.5) называется
жордановой клеткой матрицы
b
A.
♦ Жорданова форма (2 4.4) определена с точностью до поря дка располо-
жения клеток J
k
на диагонали мат рицы A
0
. Этот порядок зависит от порядка
нумерации собственных значений λ
k
.

Страницы