ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
192 Глава 5. Линейные операторы
Решение. a) Составим характеристическое уравнение
det(A − λI) =
1 − λ 2
2 1 − λ
= (1 − λ)
2
− 4 = 0.
Найдем λ
1
= −1, λ
2
= 3.
Для λ = −1 получим систему уравнений
[1 − (−1)]g
1
+ 2g
2
= 0,
2g
1
+ [1 − (−1)]g
2
= 0.
Здесь ~g = (
g
1
g
2
)
⊺
. Так как ранг матрицы это й системы равен единице, то одно
из уравнений системы является следствием другого, поэтому можно отбросить
последнее уравнение. Положив g
2
= 1, найдем
~g
1
=
−1
1
.
Аналогично для λ
2
= 3:
(1 − 3 )g
1
+ 2g
2
= 0,
2g
1
+ (1 − 3)g
2
= 0.
Отсюда
~g
2
=
1
1
.
б) В развернутом виде задача на собственные значения и собственные век-
торы матрицы A запишется как
(5 − λ)g
1
+ 2g
2
= 0,
−4g
1
+ (−1 − λ )g
2
= 0.
(23.7)
Здесь ~g = (
g
1
g
2
)
⊺
.
Однородная система (23.7) имеет нетривиальные решения при условии
det(A − λ I) =
5 − λ 2
−4 −1 − λ
= 0.
Отсюда найд¨ем уравнение для определения собственных значений λ
(5 − λ)(−1 − λ) + 8 = λ
2
− 4λ + 3 = 0,
имеющее корни λ
1
= 1, λ
2
= 3.
Поочередно подставив эти значения в (23.7), найд¨ем два линейно независи-
мых собственных вектора ~g
1
и ~g
2
. Действительно, подстановка λ
1
= 1 да¨ет
4g
1
1
+ 2g
1
2
= 0,
−4g
1
1
− 2g
1
2
= 0,
(23.8)
откуда g
1
2
= −2g
1
1
и
~g
1
= g
1
1
1
−2
.
Выбрав g
1
1
= 1, имеем собственный вектор
~g
1
=
1
−2
. (23.9)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- …
- следующая ›
- последняя »
