ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
188 Глава 5. Линейные операторы
Пусть обе системы векторов являются базисными. Тогда старые базисные
векторы выражаются через новые по формулам
~e
j
=
n
X
j
′
=1
˜p
j
′
j
~e
j
′
, (22.2)
где ˜p
k
j
— координаты векторов базиса старой системы в базисе новой. Мат ри-
цу этих ко ординат будем называть матрицей перехода от новой системы к
старой:
e
P = k˜p
k
j
k. Матрица из координат векторов старого базиса в новом яв-
ляется матрицей перехода от нового базиса к старому, т.е. матрицей обратного
перехода.
Подставим (22.1) в (22.2):
~e
j
=
n
X
k=1
n
X
i=1
˜p
k
j
p
i
k
~e
i
,
но величины
b
i
j
=
n
X
k=1
˜p
k
j
p
i
k
— координаты j-го вектора в старом базисе. Таким образом,
b
i
j
=
n
X
k=1
˜p
k
j
p
i
k
= δ
i
j
.
Следовательно,
e
P = P
−1
. Последнее соотношение в матричной форме примет
вид
e
P P = I.
Пусть X =
x
1
.
.
.
x
n
и
e
X =
˜x
1
.
.
.
˜x
n
— координаты вектора ~x ∈ L соответственно
в старом и новом базисах.
Теорема 22.2. Матрицы X и
e
X связаны соотношением
X = P
e
X,
e
X = P
−1
X. (22.3)
Доказательство. По определению,
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
=
n
X
k=1
˜x
k
~e
k
. (22.4)
Подставим (22.1) в (22.4) и получим
n
X
j=1
x
j
~e
j
=
n
X
k=1
n
X
i=1
˜x
k
p
i
k
~e
i
или
x
j
=
n
X
k=1
p
j
k
˜x
k
, (22.5)
или в матричной форме X = P
˜
X, что и требовалось доказать.
Тензором первого ранга, один раз ковариантным, называется объект, коор-
динаты которого при преобразовании базиса преобразуются по правилу (22.5).
Рассмотрим, как преобразуются матрицы линейных операторов при преоб-
разованиях базиса. Пусть A = ka
j
l
k и
e
A = k ˜a
j
l
k — матрицы оператора
b
A в старом
и новом б азисах соответственно. Тогда справедливо следующее утверждение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- …
- следующая ›
- последняя »
