Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

186 Глава 5. Линейные операторы
~y
3
= Y
3
=
0
0
−1
!
=
b
A~x
3
= AX
3
= A
1
1
1
!
,
которые с по мощью матриц
Y = (Y
1
Y
2
Y
3
) =
0 1 0
1 0 0
−1 2 −1
!
, (20.5)
X = (X
1
X
2
X
3
) =
1 0 1
0 1 1
−1 −2 1
!
(20.6)
можно записать одним матричным соотнош ением
Y = AX,
откуда
A = YX
−1
. (20.7)
Поскольку, согласно (20.6), det X = 4 6= 0, обратная матрица X
−1
существует.
Вычислив е¨е:
X
−1
=
1
4
3 −2 −1
−1 2 −1
1 2 1
!
и подставив в (20.7), с уч¨етом (20.5) найд¨ем
A = YX
−1
=
0 1 0
1 0 0
−1 2 −1
!
1
4
3 −2 −1
−1 2 −1
1 2 1
!
=
1
4
−1 2 −1
3 −2 −1
−6 4 −2
!
.
♦ На практике приходится решать следующие задачи, связанные с линей-
ными операторами:
1) уста но вить, является ли данное преобразование линейным;
2) найти матрицу линейного оператора в заданном базисе.
Итак, мы установили соответствие между линейными операторами с фик-
сированным базисом и квадратными мат рицами, действующими в линейном
пространстве L. Легко проверить, что это соответствие является взаимно одно-
значным.
Пример 20.4. Найти матрицу нулевого оператора.
Решение. Ясно, что A = 0
3×3
.
21. Действия над линейными о пе раторами
Операторы
b
A и
b
B, действующие в пространстве L, называются равными,
если для любого ~x ∈ L справедливо
b
A~x =
b
B~x.
Очевидно, что матрицы A, B равных операторов равны, так как
n
X
l=1
a
l
j
~e
l
=
n
X
l=1
b
l
j
~e
l
.

Страницы