Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

182 Глава 4. Аффинные пространства
причем два последних означают, что количество выпускаемых изделий не может быть
отрицательным.
Ограничения (19.5) можно рассматривать как замкнутые полуплоскости, пере-
сечение которых на плоскости с репером {0, ~e
1
, ~e
2
} образует, как показано в приме-
ре 17.8, выпуклый многоугольник O(0, 0), A
2
(0, 6), D(3, 5), E(6, 2), B(7, 0).
Целевая функция, определяющая получение максимальной прибыли предприя-
тия, в случае а) имеет вид
F = 2x
1
+ 3x
2
. (19.6)
Это уравнение на плоскости x
1
Ox
2
определяет множество параллельных прямых, пе-
ресекающих координатные прямые ℓ
1
и ℓ
2
в точках
x
1
=
F
2
, x
2
=
F
3
(19.7)
соответственно. Из (19.7) следует, что максимальное значение целевой функции до-
стигается на той прямой, которая, проходя через пятиугольник OA
2
DEB, пересекает
координатные прямые в точках с наибольшими значениями координат x
1
и x
2
. Из
рис. 26,а следует, что таковой является прямая, проходящая через точку D(3, 5). Под-
ставив координаты этой точки в выражение (19.6), найдем максимальное значение
целевой функции
F
max
= 2 · 3 + 3 · 5 = 21. (19.8)
Таким образом, для случая а) оптимальным планом (в условных единицах) выпуска
продукции являются значения x
1
= 3, x
2
= 5, обеспечивающие максимум прибыли
F
max
= 21.
Для проверки вычислим значения целевой функции (19.6) в остальных вершинах
пятиугольника:
F
O(0,0)
= 0, F
A(0,6)
= 2 · 0 + 3 · 6 = 18,
F
E(6,2)
= 2 · 6 + 3 ·2 = 18, F
B(7,0)
= 2 · 7 + 3 · 0 = 14.
Как видим, все эти значения меньше найденного F
max
= F
D (3,5)
= 21.
♦ Вместо построения пятиугольника (рис. 26,a) можно было найти значения це-
левой функции (19.6) во всех вершинах этого пятиугольника и выбрать наибольшее
из них.
В случае б) целевая функция имеет вид
F = 6x
1
+ 4x
2
. (19.9)
Из рис. 26,б следует, что искомой прямой является прямая, проходящая через точку
E(6, 2). Таким образом, оптимальным планом будет выпуск продукции x
1
= 6 и x
2
= 2,
обеспечивающий максимальную прибыль (19.9)
F
max
= F
D (6,2)
= 6 · 6 + 4 · 2 = 44.
Рис. 26.

Страницы