Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18. Симплексы 177
Аффинная же координата центра x
ц
симплекса, согласно (18.9), совпадает с коорди-
натой середины отрезка M
1
M
2
:
x
ц
=
1
2
(x
(1)
+ x
(2)
). (18.12)
Теперь рассмотрим произвольную точку M(x) симплекса S
1
, т.е. отрезка M
1
M
2
.
Рис. 24.
Пусть в заданном базисе (рис. 24) точка M
1
имеет координату x
(1)
, точка M
2
—
x
(2)
. Тогда координата точки M определится равенством (18.10): x = λ
1
x
(1)
+ λ
2
x
(2)
.
Поскольку координаты этих точек совпадают с координатами их радиус-векторов, то
с учетом правил сложения векторов можем записать следующие векторные равенства:
−−−→
OM
2
=
−−−→
OM
1
+
−−−−→
M
1
M
2
=
−−→
OM +
−−−→
MM
2
,
−−→
OM =
−−−→
OM
1
+
−−−−→
M
1
M
2
, (18.13)
−−−−→
M
1
M
2
=
−−−→
M
1
M +
−−−→
MM
2
. (18.14)
Отсюда найдем, что вектор
−−−→
M
1
M имеет координату (x − x
(1)
), вектор
−−−→
MM
2
— коор-
динату (x
(2)
− x
(1)
). С учетом этого из (18.10) следуют два векторных равенства
−−−→
M
1
M = λ
2
−−−−→
M
1
M
2
,
−−−→
MM
2
= λ
1
−−−−→
M
1
M
2
. (18.15)
Для центра симплекса M
ц
, когда λ
1
= λ
2
= λ
ц
= 1/2, из (18.15) имеем
−−−−→
M
1
M
ц
=
−−−−→
M
ц
M
1
=
1
2
−−−−→
M
1
M
2
. (18.16)
Для точки M, когда λ
1
= 1/3, λ
2
= 1/3, имеем
−−−→
M
1
M =
2
3
−−−−→
M
1
M
2
,
−−−→
MM
2
=
1
3
−−−−→
M
1
M
2
,
−−−→
M
1
M = 2
−−−→
MM
2
(18.17)
и так далее.
Обратимся теперь к физической интерпретации полученных векторных уравне-
ний. Из курса общей физики хорошо известно, что если на концах стержня разместить
грузы равного веса (массы), то их центр тяжести (центр масс) придется на середину
этого стержня. Именно это свойство используется в обычных рычажных весах. Если
же на одном конце стержня разместить массу m
1
, а на другом — в два раза большую
массу m
2
(m
2
= 2m
1
), то центр тяжести сместится от середины стержня в сторону
груза большей массы и будет находиться на расстоянии 1/3 длины стержня от конца
с грузом большей массы. При этом расстояния от центра тяжести до концов стержня:
l
1
до m
1
и l
2
до m
2
будут связаны соотношением l
1
= 2l
2
, откуда естественно следует
l
2
= (l
1
+ l
2
)/3.
Для грузов произвольных масс имеем равенство
m
1
l
1
= m
2
l
2
, (18.18)
известное в физике как «правило рычага», «равенство моментов сил тяжести» (после
умножения (18.18) на ускорение свободного падения g) и др.
Если в (18.18) суммарную массу нормировать на единицу, т.е. потребовать m
1
+
m
1
= 1, то величины λ
1
= m
1
/(m
1
+ m
2
) и λ
2
= m
2
/(m
1
+ m
2
) можно рассматри-
вать как соответствующие барицентрические координаты, фигурирующие в вектор-
ных уравнениях (18.13), (18.14) и их координатном представлении (18.10).
При совпадении точек M
1
и M
2
(x
(1)
= x
(2)
) одномерный симплекс S
1
вырождается
в нульмерный симплекс S
0
, рассмотренный выше.

Страницы