Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18. Симплексы 175
при условиях
λ
1
+ λ
2
+ . . . + λ
n
+ λ
n+1
= 1 (18.2)
и
λ
i
> 0, i = 1, n + 1. (18.3)
Пусть M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) — заданная точка симплекса S
n
(18.1)–(18.3), т.е. M ∈ S
n
.
Рассмотрим систему уравнений (18.1), (18.2) как неоднородную систему линейных
уравнений для неизвестных λ
i
, i = 1, n + 1, записав ее в следующей матричной форме:
KΛ = X
′
, (18.4)
где
K =
x
(1)
1
x
(2)
1
. . . x
(n+1)
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
(1)
n
x
(2)
n
. . . x
(n+1)
n
1 1 . . . 1
(18.5)
— матрица системы (18.4),
X
′
=
x
1
. . .
x
n
1
(18.6)
— ее правая часть, а
Λ =
λ
1
. . .
λ
n
λ
n+1
(18.7)
— столбец неизвестных λ
i
.
Так как все точки M
i
находятся в общем положении, то rang K = n + 1 и систе-
ма имеет единственное решение. Это означает, что аффинные координаты x
i
, i =
1, n, точки M однозначно определяют числа λ
1
, . . . , λ
n
, λ
n+1
и наоборот. Но в та-
ком случае этот упорядоченный набор чисел можно рассматривать как еще один вид
координат, которые наря ду с аффинными однозначно определяет положение точки
M(λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
) в симплексе S
n
. И хотя формально число координат λ
i
равно (n+1),
условие (18.2) уменьшает их до числа аффинных координат, равного n.
Барицентрическими координатами (дословно — координатами центров тяже-
сти, от греческих βαρoσ — тяжесть и κεντρoν — средоточие, центр) точки
M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) симплекса S
n
называются числа λ
i
, i = 1, n + 1, из уравнений (18.1),
которые при выполнении условий (18.2), (18.3) определяют аффинные координаты x
i
,
i = 1, n, этой точки.
♦ Барицентрические координаты впервые были введены немецким математиком
А. М¨ебиусом. Их название объясняется следующим образом. Пусть в вершинах сим-
плекса S
n
— точках M
i
, i = 1, n, — помещены соответственно материальные точки
массой λ
i
, i = 1, n + 1, совокупная масса которых, согласно (18.2), равна единице
(λ
1
+ . . . + λ
n+1
= 1). Тогда центр тяжести полученной системы материальных точек
окажется как раз в точке M с аффинными координатами x
i
, i = 1, n, определяемыми
системой (18.1) по заданному распределению масс λ
i
, i = 1, n + 1. Изменение распре-
деления масс λ
i
, i = 1, n + 1 (при условии λ
1
+ . . . + λ
n+1
= 1) меняет положение
центра тяжести системы так, что точка M в заданном симплексе S
n
пробегает все
возможные положения.
Существуют два важных распределения λ
i
. Одно из них — когда вся масса си-
стемы сосредоточена в какой-либо вершине, например M
1
. Тогда λ
1
= 1, λ
2
= λ
3
=
. . . = λ
n+1
= 0 и центр тяжести совпадает с самой вершиной M
1
, поскольку, согласно
(18.1), x
1
= x
(1)
1
, x
2
= x
(1)
2
, . . . , x
n
= x
(1)
n
. Другое распределение — когда во всех верши-
нах симплекса S
n
расположены точки равной массы. Такое распределение выделяет

Страницы