Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Системы линейных неравенств и многогранники 173
Как следует из рассмотренного примера, и в полном соответствии со следстви-
ем 15.2.2 теоремы 15.2, точки M
1
, M
2
, . . . , M
r
могут находиться в общем положении
только при условии линейной независимости системы векторов
−−−−→
M
1
M
2
,
−−−−→
M
1
M
3
, . . . ,
−−−−→
M
1
M
r
. (17.36)
Отметим, что M
1
как начальная точка всех векторов (17.35) выбрана произволь-
но. Очевидно, что совершенно безразлично, какую из точек M
i
, i = 1, r, выбрать в
качестве начальной.
Пример 17.8. Найти вершины многогранника, образованного пересечением полу-
пространств
x
1
> 0;
x
2
> 0;
x
1
+ 3x
2
6 18; (17.37)
x
1
+ x
2
6 8;
2x
1
+ x
2
6 14.
Решение. Согласно условию, заданы пять полупространств в двумерном аффинном
пространстве A
2
. В силу размерности A
2
эти полупространства представляют собой
обычные полуплоскости, полученные разделением плоскости A
2
его гиперплоскостя-
ми, т.е. прямыми
ℓ
1
: x
2
= 0;
ℓ
2
: x
1
= 0;
ℓ
3
: x
1
+ 3x
2
= 18; (17.38)
ℓ
4
: x
1
+ x
2
= 8;
ℓ
5
: 2x
1
+ x
2
= 14.
Пусть {0,~e
1
, ~e
2
} — репер A
2
— плоскости x
1
Ox
2
. Прямые x
1
= 0 и x
2
= 0 представляют
собой координатные прямые и, следовательно, неравенства x
1
> 0, x
2
> 0 определяют
конус с вершиной в точке O между лучами, направленными по ~e
1
и ~e
2
соответственно
(см. рис. 21).
Прямая ℓ
3
пересекает координатные пря -
Рис. 21.
мые ℓ
1
и ℓ
2
в точках A
1
(18, 0) и A
2
(0, 9),
поскольку
x
2
= 0, x
1
+ 3x
2
= 18,
откуда для A
1
x
1
= 18, x
2
= 0. Соответ-
ственно из системы
x
1
= 0, x
1
+ 3x
2
= 18,
для точки A
2
найдем x
1
= 0, x
2
= 6.
Прямая ℓ
4
пересекает координатные пря -
мые ℓ
1
и ℓ
2
в точках C
1
(8, 0) и C
2
(0, 8). На-
конец, прямая ℓ
5
пересекает координатные прямые ℓ
1
и ℓ
2
в точках B
1
(7, 0) и B
2
(0, 14).
Из трех точек: A
1
(18, 0), C
1
(8, 0), B
1
(7, 0) только точка B
1
(7, 0) удовлетворяет
неравенству 2x
1
+ x
2
6 14. Из трех точек: A
2
(0, 6), C
2
(0, 8), B
2
(0, 14) только точка
A
2
удовлетворяет неравенству x
1
+ 3x
2
6 18. Следовательно, к уже известной вер-
шине многогранника — точке O(0, 0) — добавятся точки B
1
(7, 0) и A
2
(0, 6).
Прямые ℓ
3
и ℓ
5
пересекаются в точке F (4.8, 4.4), координаты которой находятся
из системы
x
1
+ 3x
2
= 18, 2x
1
+ x
2
= 14.

Страницы