Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 284 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

284 Индивидуальные задания
а) поменять местами 3-ю и 4-ю строки;
б) к 3-й строке прибавить 2-ю и 4-ю, умноженные на −1,5 и 1, соответственно.
15.5. Дана система линейных уравнений
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 4,
3x
1
−4x
2
+ 6x
3
+ 7x
4
= 9,
5x
1
−11x
2
+ 12x
3
+ 14x
4
= 13,
x
2
+ 3x
3
− 3x
4
= −2.
а) Доказать, что система имеет единственное решение;
б) неизвестное x
2
найти по формулам Крамера;
в) остальные неизвестные найти методом Гаусса.
15.6. Дана система линейных уравнений
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 3,
x
2
+ 2x
3
= 1,
x
1
+ 4x
3
= 1.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
3
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
15.7. Дана система линейных однородных уравнений
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
2x
1
− x
2
+ 3x
3
− 4x
4
+ 2x
5
= 0,
x
1
− 2x
2
+ x
4
+ x
5
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
15.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
2x
1
− x
2
+ x
3
− 2x
4
+ 3x
5
= 1,
−x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= −2,
3x
1
− 2x
2
− x
3
− x
4
+ 2x
5
= −1.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
15.9. Показать, что решение однородной системы из примера 15.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
15.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 15.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
15.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 15.1.
15.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
15.11.
15.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (3, 2, −4),
~
f
2
= (4, −1, −2),
~
f
3
= (5, 2, −3), ~x = (9, 5, −8).

Страницы