Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 298 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

298 Индивидуальные задания
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
21.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ x
2
−x
3
− 2x
4
= 2,
2x
1
+ 3x
2
− 2x
3
− 5x
4
= 2,
x
1
− 5x
2
− x
3
+ 4x
4
= 2.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
21.9. Показать, что решение однородной системы из примера 21.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
21.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 21.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
21.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 21.1.
21.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
21.11.
21.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (4, 1, −2),
~
f
2
= (5, 2, −3),
~
f
3
= (2, 3, −4), ~x = (−2, 2, −2).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
21.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (9x
1
−12x
2
+3x
3
, −12x
1
+16x
2
−4x
3
, 3x
1
−4x
2
+x
3
),
b
G
2
~x = (−x
2
, x
3
−x
1
, 2x
1
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
2
b
G
1
−
b
G
1
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 21.13.
21.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
3 −1
5 1
, G
2
=
1 2 0
1 2 0
2 3 1
!
.
21.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 21.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.

Страницы