Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 303 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 303
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
23.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (7x
2
+ 2x
3
, −7x
1
+ 5x
3
, −2x
1
− 5x
2
),
b
G
2
~x = (x
1
+ x
3
, −x
2
, x
3
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор
b
G
2
b
G
1
действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 23.13.
23.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
3 −4
−2 1
, G
2
=
−3 0 5
6 1 4
−5 0 7
!
.
23.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 23.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.
23.17. В экспериментах по определению величин ~x
1
, ~x
2
и ~x
3
из результатов изме-
рений в силу их погрешности получена следующая несовместная система уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
= 2,
x
1
− x
2
+ x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ x
3
= 1.
Методом наименьших квадратов найти приближенные значения искомых величин и
надежность их измерений.
Вариант № 24
24.1. Дана матрица
A =
1 2 4 7
2 0 1 6
1 1 2 4
3 −3 4 5
.
а) Вычислить ее определитель det A, разложив его по элементам 2-ой строки;
б) вычислить det A, получив в каком-либо его ряду максимальное число нулей;
в) вычислить det(−4A);
г) составить матрицу B, заменив 1-й столбец матрицы A линейной комбинацией 3-го
и 4-го столбцов с коэффициентами −2 и −4, соответственно;
д) вычислить det B и det(AB);
е) вычислить det A
−1
.

Страницы