ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ГЛАВА 3
Кривые линии на плоскости
13. Кривые второго порядка на плоскости. Окружность
Кривые второго порядка играют большую роль во многих прикладных на-
уках, таких, как астрономия, механика, военное дело и др.
Множество т очек плоскости называется алгебраической кривой второго
порядка, если левая часть ее уравнения есть полином второй степени относи-
тельно x и y:
Ax
2
+ By
2
+ Cxy + Dx + F y + E = 0. (13.1)
Мы будем рассматривать наиболее распространенные кривые второго по-
рядка: окружность, эллипс, параболу и гиперболу. Прежде чем перейти к изу-
чению кривых второго порядка, дадим определение касательной к кривой.
Касательной к кривой L в точке M
0
(x
0
, y
0
) называется предельное поло-
жение секущей M
0
M, ко гда точка M стремится к точке M
0
по кривой L.
Из элементарной геометрии известно следующее
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равно-
удаленных от заданной точки, называемой центром окружности.
♦ Это определение мы будем называть геометрическим определением окруж-
ности.
Хордой (от греческого χoρδη — «струна») окружности называется отрезок,
соединяющий две ее произвольные точки.
Диаметром (от греческого διαµετρoς — «поперечник») называется хорда,
проходящая через середины двух любых меньших параллельных хорд.
На рис. 56 изображены три параллельные хорды χ
1
, χ
2
, χ
3
Рис. 56.
и их диаметр δ
1
, а также две параллельные хорды χ
4
, χ
5
и
их диаметр δ
2
. Из простейших геометрических построений
следует, что все диаметры окружности проходят через ее
центр — точку O и являются хордами наиб ольшей длины.
Поэтому диаметр окружности иногда о пределяют как хор-
ду наибольшей длины, эту длину также называют диамет-
ром. Отрезок диаметра от центра окружности до ее точки и
его длина называются одним словом — радиус окружности
(уже от латинского radius — «луч», «спица колеса»). Исхо-
дя из геометрического определения окружности и определения прямой линии,
а также связанных с ними вспомогат ельных понятий, т.е. с помощью циркуля и
линейки, можно решить решить ряд планиметрических задач, что, собственно,
и составляет содержание курса начертательной геометрии.
Наряду с геометрическим определением можно сформулировать определе-
ние, связывающее текущие координаты x, y произвольной точки о кружности, в
форме некоторого уравнения аналогично данному ранее определению прямой
линии. Такое определение можно рассматривать как аналитическое выражение,
поэтому определение кривых с помощью уравнений естественно назвать анали-
тическим. Исследование свойств геометрических об ъектов с помощью алгеб-
раических уравнений и составляет предмет курса аналитической геометрии.
В таком подходе важное значение имеет выбор системы координат. Выберем
прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром
окружности (рис. 57,a). Такую систему координат б удем называть канони че-
ской.
Пусть в канонической системе координат точка M(x, y) — произвольная точ-
ка окружности (рис. 57,a) и пусть R — расстояние, на которое она удалена от
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
