ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Простейшие задачи на прямую на плоскости 111
находится, согласно определению, как
cos ϕ =
|(
~
N
CA
,
~
N
CB
)|
|
~
N
CA
||
~
N
CB
|
=
|1 · 1 + (−1) · 7|
√
1
2
+ 1
2
√
1
2
+ 7
2
=
|− 6|
√
2
√
50
=
6
10
= 0,6;
ϕ = arccos 0,6 ≈ 53
◦
.
В свою очередь, угол ψ от прямой CA к прямой CB определяется соотношением
(12.8):
tg ψ = tg ∠(CA 7→ CB) =
1 −1
1 7
1 · 1 + (−1) · 7
=
8
−6
= −
4
3
;
ψ = arctg
−
4
3
≈ −53
◦
.
Углы ϕ и ψ совпадают по абсолютной величине, но угол ψ отрицателен, по-
скольку поворот от прямой CA к прямой CB совершается по часовой стрелке,
а не против, чт о и подтверждается рис. 55.
в) Точку пересечения медиан проще всего найти, воспользовавшись форму-
лой деления отрезков в данном отношении. Действительно, медиана CC
′
делит
сторону BA пополам и, следовательно, координаты то чки C
′
равны
x
C
′
=
x
A
+ x
B
2
=
1 + 4
2
=
5
2
; y
C
′
=
y
A
+ y
B
2
=
3 + (−2)
2
=
1
2
, (12.27)
т.е. C
′
(5/2, 1/2). Теперь можно воспользоваться тем, что точка пересечения ме-
диан M делит отрезок CC
′
в отношении 2 : 1, следовательно, е¨е координаты
равны
x
M
=
x
C
+ 2x
C
′
1 + 2
=
−3 + 2 · 5/2
3
=
2
3
; y
M
=
y
C
+ 2y
C
′
1 + 2
=
= 1 + 2 · 1 /2
2
= 0.
(12.28)
Таким образом, точка пересечения медиан имеет координаты M(2/3, 0).
Для проверки найд¨ем координаты этой точки, записав уравнения медиан
CC
′
, BB
′
и определив точку их пересечения.
Уравнение медианы CC
′
можно найти как уравнение прямой, проходящей
через точки C(−3, −1) и C
′
(5/2, 1/2) (см. (12.27 )):
x + 3
5/2 + 3
=
y + 1
1/2 + 1
или
3x − 11y − 2 = 0. (12.29)
Теперь найд¨ем координаты точки B
′
как середины стороны CA:
x
B
′
=
x
C
+ x
A
2
=
−3 + 1
2
= −1; y
B
′
=
y
C
+ y
A
2
=
−1 + 3
2
= 1, (12.30)
т.е. B
′
(−1, 1).
Это позволяет записать уравнение медианы BB
′
как уравнение прямой, про-
ходящей через т очки B(4, −2) и B
′
(−1, 1):
x + 1
4 + 1
=
y − 1
−2 − 1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
