Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12. Простейшие задачи на прямую на плоскости 109
12.3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
и составляющей заданный угол с данной прямой
Пусть прямая на плоскости задана уравнением с угловым коэффициентом
y = k
1
x + b
1
. Требуется найти уравнение прямой проходящей через точку M
0
=
(x
0
, y
0
) под углом ϕ к данной прямой.
Согласно (12 .1 0),
tg ϕ =
k −k
1
1 + k
1
k
,
откуда
k =
k
1
± tg ϕ
1 ± k
1
tg ϕ
,
y − y
0
= k(x − x
0
).
12.4. Уравнение биссектрисы углов,
образованных данными прямым и
Пусть даны уравнения двух прямых в общем виде:
A
1
x + B
1
y + D
1
= 0, A
2
x + B
2
y + D
2
= 0.
Поскольку точки биссектрисы равноудалены от этих прямых, то е¨е уравнение
следует из равенства расстояний d
1
и d
2
, т.е.
|A
1
x + B
1
y + D
1
|
p
A
2
1
+ B
2
1
=
|A
2
x + B
2
y + D
1
|
p
A
2
2
+ B
2
2
или
A
1
x + B
1
y + D
1
p
A
2
1
+ B
2
1
= ±
A
2
x + B
2
y + D
1
p
A
2
2
+ B
2
2
. (12.17)
Пусть даны две прямые в нормальной форме:
x cos θ + y sin θ − p
1
= 0, x cos ϕ + y sin ϕ − p
2
= 0.
Левые части уравнений равны отклонению δ точки M(x, y) от первой и вто рой
прямых. На одной из биссектрис эти отклонения равны, а на другой противо-
положны по знаку. Тогда
(x cos θ + y sin θ − p
1
) − (x cos ϕ + y sin ϕ − p
2
) = 0;
(x cos θ + y sin θ − p
1
) + (x cos ϕ + y sin ϕ − p
2
) = 0.
(12.18)
Пример 12.2. Для треугольника с вершинами A(1, 3), B(4, −2), C(−3, −1) най-
ти:
а) каноническое уравнение прямой CA, уравнение прямой CB в параметри-
ческой форме и общее уравнение прямой AB, одно из полученных уравнений
представить уравнением пря мой в отрезках, другое — в нормальной форме и
третье — уравнением прямой с угловым коэффициентом;
б) угол между пря мыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением пря-
мых CB и CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых парал-
лельна, а другая перпендикулярна прямой CB.
Решение. Для удобства изобразим эти точки на рис. 55.

Страницы