Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108 Глава 2. Прямая линия на плоскости
Перейдя от общих уравнений прямых (12.4) к уравнениям с угловыми коэффи-
циентами y = k
1
x + b
1
, y = k
2
x + b
2
, найд¨ем связь между координатами нормалей и
угловыми коэффициентами:
k
1
= −
A
1
B
1
, k
2
= −
A
2
B
2
. (12.9)
Теперь, разделив числитель и знаменатель правой части (12.8) на B
1
B
2
, получим
tg[∠(ℓ
1
7→ ℓ
2
)] =
A
1
/B
1
− A
2
/B
2
1 + (A
1
/B
1
)(A
2
/B
2
)
.
Это соотношение с помощью (12.9) запишется в виде
tg[∠(ℓ
1
7→ ℓ
2
)] =
k
2
− k
1
1 + k
1
k
2
. (12.10)
Формула (12.10) зада¨ет угол от прямой ℓ
1
до прямой ℓ
2
через их угловые коэффици-
енты.
Прямые ℓ
1
и ℓ
2
параллельны, если угол между ними равен нулю. Это воз-
можно при выполнении условий
m
1
m
2
=
n
1
n
2
,
A
1
A
2
=
B
1
B
2
, k
1
= k
2
(12.11)
в зависимости от способа задания прямой.
♦ Формулы (12.11) задают условия параллельности двух прямых.
Прямые ℓ
1
и ℓ
2
будут перпендикулярны, если угол между ними будет ра вен
π/2. Это возможно при выполнении условий
m
1
m
2
+ n
1
n
2
= 0, A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0, k
1
= −
1
k
2
tg
π
2
→ ∞, 1 + k
1
k
2
= 0
(12.12)
в зависимости от способа задания прямой.
♦ Формулы (12.12) определяют условия перпендикулярности двух прямых.
Если угол между прямыми отличен от нуля, т.е.
m
1
m
2
6=
n
1
n
2
,
A
1
A
2
6=
B
1
B
2
, k
1
6= k
2
, (12.13)
то они пересекаются в единственной точке x
0
, y
0
, ко торую можно найти, напри-
мер, из системы
A
1
x + B
1
y = −D
1
,
A
2
x + B
2
y = −D
2
.
(12.14)
Единственность решения x
0
, y
0
системы и, следовательно, точки пересечения
гарантирована условием
A
1
B
1
A
2
B
2
= A
1
B
2
− A
2
B
1
6= 0,
совпадающим с (12.13).
Для параллельных прямых из системы (12.14) следует, что они либо совпа-
дают, и в этом случае
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
D
1
D
2
, (12.15)
либо вообще не пересекаются, и в этом случае
A
1
A
2
=
B
1
B
2
6=
D
1
D
2
. (12.16)
В первом случае система (12.14 ) не определена и имеет бесконечное множество
решений, а во втором система (12.14) несовместна.

Страницы