ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Простейшие задачи на прямую на плоскости 107
Если прямые заданы общими уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0,
(12.4)
то, учитывая свя зь между координатами направляющих векторов ~s
1
= (m
1
, n
1
)
и ~s
2
= (m
2
, n
2
) и их нормалями
~
N
1
= (A
1
, B
1
) и
~
N
2
= (A
2
, B
2
):
A
1
= n
1
, B
1
= −m
1
; A
2
= n
2
, B
2
= −m
2
, (12.5)
из (12.3) можно по лучить ещ¨е одну формулу:
cos ϕ =
|m
1
m
2
+ n
1
n
2
|
p
m
2
1
+ n
2
1
p
m
2
2
+ n
2
2
=
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
p
A
2
2
+ B
2
2
. (12.6)
♦ Впрочем, формула (12.6) следует из (12.3) на основании равенства углов
с перпендикулярными сторонами, известного из элементарной геометрии.
Кроме угла между прямыми ℓ
1
и ℓ
2
на ориентированной плоскости имеет значение
угол от прямой ℓ
1
до прямой ℓ
2
.
Углом от прямой ℓ
1
до прямой ℓ
2
называется угол от направляющего вектора
~s
1
= (m
1
, n
1
) прямой ℓ
1
до направляющего вектора ~s
2
= (m
2
, n
2
) прямой ℓ
2
. Его
обозначают ∠(ℓ
1
7→ ℓ
2
).
Рис. 54.
Определ¨енный таким образом угол, вообще говоря, зависит от ориентации направ-
ляющих векторов ~s
1
и ~s
2
прямых ℓ
1
и ℓ
2
. Если направляющие векторы выбраны так,
как показано на рис. 54,a, то
tg[∠(~s
1
7→ ~s
2
)] = tg ϕ
(положительным считается направление вращения против часовой стрелки). Если же
направляющие векторы выбраны так, как показано на рис. 54,б, то
tg[∠(~s
1
7→ ~s
2
)] = tg[−(π − ϕ)] = tg ϕ,
где ϕ — угол между векторами ~s
1
и ~s
2
, показанный на рис. 54,a. Таким образом, с
уч¨етом (12.3) и определения векторного произведения векторов запишем
tg[∠(ℓ
1
7→ ℓ
2
)] = tg[∠(~s
1
7→ ~s
2
)] =
m
1
n
1
m
2
n
2
(~s
1
, ~s
2
)
=
m
1
n
2
− n
1
m
2
m
1
m
2
+ n
1
n
2
. (12.7)
Приняв во внимание соотношение (12.5), можно эту формулу переписать через коор-
динаты нормалей
~
N
1
= (A
1
, B
1
) и
~
N
2
= (A
2
, B
2
) к прямым:
tg[∠(ℓ
1
7→ ℓ
2
)] = tg[∠(~s
1
7→ ~s
2
)] =
A
1
B
1
A
2
B
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
=
A
1
B
2
− B
1
A
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
. (12.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
