ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Простейшие задачи на прямую на плоскости 105
Но
−−→
NM = ~r −
−−→
ON = ~r −p~n
0
, поэтому (~r −p~n
0
, ~n
0
) = 0
или
(~r, ~n
0
) −p = 0 (11.19)
— нормальное уравнение прямой в векторной форме.
Если учесть, что ~r = (x, y), а ~n
0
= (cos ϕ, sin ϕ), то
предыдущее соотношение можно записать так:
x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0. (11.20)
Это и есть нормальное уравнение прямой в координатной форме.
Из уравнения прямой в нормальном виде следует, что для того чтобы урав-
нение прямой б ыло нормальным, необходимо, чт обы сумма квадратов коэффи-
циентов при переменных x и y была равна единице.
Поэтому общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 можно привести к нор-
мальному виду, если умножить его левую часть на число
λ = ±
1
|~n
0
|
= ±
1
√
A
2
+ B
2
. (11.21)
Число λ называется нормирующим или нормировочным множителем, знак λ
противоположен знаку постоянной C.
Пример 11.3. Пусть дано общее уравнение прямой 3 x + 4y −15 = 0. Записать
его в нормальном виде.
Решение. Умножим левую часть уравнения на нормировочный множитель
λ = +
1
√
3
2
+ 4
2
=
1
5
.
Получим нормальное уравнение
3
5
x +
4
5
y −3 = 0.
Проверим:
3
5
2
+
1
5
2
= 1.
Следовательно, получено нормальное уравнение прямой.
12. Простейшие задачи на прямую на плоскости
12.1. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + D = 0, D = −Ax
0
− By
0
. (12.1)
Это означает, что она проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
) перпендикулярно век-
тору нормали
~
N = (A, B) ( рис. 53). И пусть точка M
1
(x
1
, y
1
) не лежит на прямой
ℓ. Тогда расстояние d от точки M
1
до прямой ℓ есть не что иное, как проекция
вектора
−−−→
M
0
M
1
на вектор нормали
~
N = (A, B), т.е.
d = |пр
~
N
−−−→
M
0
M
1
| =
|(
−−−→
M
0
M
1
,
~
N)|
|
~
N|
=
|A(x
1
− x
0
) + B(y
1
− y
0
)|
√
A
2
+ B
2
=
=
|Ax
1
+ By
1
−Ax
0
−By
0
|
√
A
2
+ B
2
=
|Ax
1
+ By
1
+ D|
√
A
2
+ B
2
. (12.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
