ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11. Прямая линия на плоскости 103
или
y − y
1
= k(x − x
1
). (11.14)
Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку
M
1
(x
1
, y
1
), так как, меняя k, получим множество прямых, проходящих через
фиксированную то чку под различными углами к оси Ox.
Теорема 11.2. Если
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
— уравнения двух прямых, пересекающихся в некоторой точке M
0
(x
0
, y
0
), а α
и β — произвольные не равные нулю числа, то
α(A
1
x + B
1
y + C
1
) + β(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0 (11.15)
есть уравнение прямой, проходящей через точку M
0
. Более того, какова бы ни
была наперед заданная прямая, проходящая через точку M
0
, она определяется
уравнением (11.15) при некотором выборе α и β.
Доказательство. Достаточность утверждения очевидна. Поскольку подста-
новка x
0
, y
0
в уравнения прямых обращает их в тождества:
A
1
x
0
+ B
1
y
0
+ C
1
= 0,
A
2
x
0
+ B
2
y
0
+ C
2
= 0,
то и подстановка x
0
, y
0
в (11.15) также обращает его в т ождество:
α(A
1
x
0
+ B
1
y
0
+ C
1
) + β(A
2
x
0
+ B
2
y
0
+ C
2
) ≡ 0.
Теперь проверим необходимость утверждения теоремы.
Пусть третья пря мая, задаваемая уравнением
A
3
x + B
3
y + C
3
= 0,
проходит через точку M
0
. Возьм¨ем на этой прямой другую точку M
1
(x
1
, y
1
).
Положим
A
1
x
1
+ B
1
y
1
+ C
1
= β
1
,
A
2
x
1
+ B
2
y
1
+ C
2
= −α
1
.
Поскольку точка M
1
не может принадлежать одновременно первой и второй
прямым, то по крайней мере одно из чисел α
1
или β
1
отлично от нуля. Тогда
уравнение
α
1
(A
1
x + B
1
y + C
1
) + β
1
(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0, (11.16)
являясь уравнением первой степени, определяет некоторую четв¨ертую прямую.
Иначе было бы верным равенство
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
β
1
α
1
и две первые прямые не могли бы пересекаться в одной точке. Теперь нетрудно
установить, что прямая (11.16) проходит одновременно через точки M
0
(x
0
, y
0
)
и M
1
(x
1
, y
1
). Действительно,
α
1
(A
1
x + B
1
y + C
1
) + β
1
(A
2
x + B
2
y + C
2
) ≡ 0
и
α
1
(A
1
x + B
1
y + C
1
) + β
1
(A
2
x + B
2
y + C
2
) = α
1
β
1
+ β
1
(−α
1
) ≡ 0.
Это означает, что прямая (11.16) проходит через те же точки, что и третья
прямая, а следовательно, они совпадают.
Уравнение (11.15) называется уравнением пучка прямых, проходящих через
точку M
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
