Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

104 Глава 2. Прямая линия на плоскости
11.6. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть даны две точки M
1
(x
1
, y
1
) и M
2
(x
2
, y
2
). Провед¨ем через эти точки
прямую ℓ.
Рассмотрим любую точку M на этой прямой. Так как точки M
1
, M и M
2
лежат на одной прямой ℓ, то векторы
−−−→
M
1
M и
−−−−→
M
1
M
2
коллинеарны. Следова-
тельно,
−−−→
M
1
M = λ
−−−−→
M
1
M
2
. (11.17)
Относительно декартовой системы координат векторы
−−−→
M
1
M = (x − x
1
, y − y
1
),
−−−−→
M
1
M
2
= (x
2
− x
1
, y
2
− y
1
).
Теперь равенство (11.17) можно записать как
x − x
1
x
2
−x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
, (11.18)
так как, если векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны.
Уравнение (11.18) теряет смысл, если один из знаме-
нателей равен нулю. Если x
2
−x
1
= 0, то это означает, что
прямая ℓk(Oy). В этом случае ее уравнение будет x = x
1
.
Если y
2
− y
1
= 0, то прямая ℓk(Ox), ее уравнение будет
y = y
1
.
Уравнение (11.18) можно получить, воспользовавшись
каноническим уравнением прямой и положив в н¨ем m =
x
2
−x
1
, n = y
2
−y
1
, x
0
= x
1
, y
0
= y
1
. В результате получим
уравнение
x − x
1
x
2
−x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
,
совпадающее с (11.18).
Пример 11.2. Дан треугольник ABC, координаты вершин которого A(−3; 2),
B(1; 5) и C(5; −7). Составить уравнение медианы, выходящ ей из вершины A.
Решение. Если A
1
— середина стороны BC, то
A
1
1 + 5
2
,
5 − 7
2
= A
1
(3; −1).
После подстановки ко ординат точек A и A
1
в уравнение (11.18) получим
x + 3
3 + 3
=
y − 2
−1 − 2
или
x + 2y − 1 = 0 .
11.7. Уравнение прямой в нормальном виде
Составим уравнение прямой ℓ, заданной в прямоугольной декартовой систе-
ме координат единичным нормальным вектором ~n
0
= (cos ϕ, sin ϕ) и расстояни-
ем p этой прямой от начала координат.
Из точки O опустим перпендикуляр на прямую, его основание обозначим
через N, а радиус-вектор точки N — через
−−→
ON. По условию
−−→
ON = p~n
0
. Пусть ~r
— радиус-вектор текущей точки прямой ℓ. Для того чтобы точка M лежала на
прямой ℓ, необходимо и достаточно, чтобы
−−→
NM ⊥ ~n
0
, т.е. чтоб ы (
−−→
NM, ~n
0
) = 0.

Страницы