ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
106 Глава 2. Прямая линия на плоскости
Рис. 53.
Формула (12.2) зада¨ет правило вычисления расстояния
от точки M
1
(x
1
, y
1
) до прямой ℓ: нужно в уравнение пря-
мой (12.1) подставить координаты этой точки. Получен-
ное число, взятое по модулю и дел¨енное на модуль |
~
N|, и
является искомым расстоянием d.
Формула (12.2) значительно упрощается, если для
определения расстояния от точки M
1
(x
1
, y
1
) до прямой
ℓ воспользоваться нормальным уравнением прямой (11.19), поско ль ку в этом
случае
~
N = ~n
0
, а |~n
0
| = 1.
Величину δ = x
1
cos ϕ + y
1
sin ϕ −p называют отклонением точки M
1
(x
1
, y
1
)
от данной прямой. Отклонение положительно, если начало координат и точка
M
1
лежат по разные стороны прямой, и отрицательно, если они лежат по одну
сторону прямой. Расстояние от точки M
1
до прямой определяется соотношением
d = |δ|.
Пример 12.1. Найти расстояние от т очки M
1
(−1, 2) до прямой 4x+3y−15 = 0.
Решение. 1 способ. П одставив данные задачи в (12.2), получим
d =
|4 · (−1) + 3 ·2 − 15|
√
16 + 9
=
| − 13 |
5
=
13
5
.
2 способ. Приводим уравнение прямой к нормальному виду. Для этого умно-
жим его на
λ =
1
√
16 + 9
=
1
5
. Получим
4
5
x +
3
5
y − 3 = 0.
В нормально е уравнение прямой подставим координаты точки M
1
, расстоя-
ние от которой до прямой мы находим. Расстояние найд¨ем по формуле
d = |δ|, δ =
4
5
x
1
+
3
5
y
1
− 3,
где x
1
, y
1
— координаты то чки M
1
, т.е.
δ =
3
5
(−1) +
4
5
(2) − 3 = −
13
5
, d = |δ| =
13
15
.
Следовательно, точка M
1
и начало координат, точка O, лежа т по разные сто-
роны от прямой ℓ.
12.2. Угол между прямыми
Пусть две прямые ℓ
1
и ℓ
2
с направляющими векто-
рами ~s
1
= (m
1
, n
1
) и ~s
2
= (m
2
, n
2
) заданы своими ка но -
ническими уравнениями:
ℓ
1
:
x − x
1
m
1
=
y − y
1
n
1
; ℓ
2
:
x − x
2
m
2
=
y − y
2
n
2
.
Угол ϕ между прямыми ℓ
1
и ℓ
2
равен углу между
их направляющими векторами ~s
1
и ~s
2
, если (~s
1
, ~s
2
) > 0, и дополняет этот угол
до π, если (~s
1
, ~s
2
) < 0. Следовательно,
cos ϕ =
|(~s
1
, ~s
2
)|
|~s
1
||~s
2
|
=
|m
1
m
2
+ n
1
n
2
|
p
m
2
1
+ n
2
1
p
m
2
2
+ n
2
2
. (12.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
