ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11. Прямая линия на плоскости 101
Точка M, отличная от M
0
, тогда и только тогда лежит на прямой, когда
вектор
−−−→
M
0
M ⊥
~
N, т.е. когда справедливо соотношение (11.7). Обозначим через
~r = (x, y) радиус-вектор текущей точки прямой, а через ~r
0
= (x
0
, y
0
) – радиус-
вектор данной (фиксированной) точки M
0
. Так как
−−−→
M
0
M = ~r −~r
0
, то уравнение
(11.7) можно переписать в виде
(~r −~r
0
,
~
N) = 0. (11.8)
Это уравнение прямой в векторной форме. Запишем это уравнение в коорди-
натной форме.
Так как вектор ~r − ~r
0
имеет координаты x − x
0
, y − y
0
, а скалярное произ-
ведение равно сумме произведений соотв етствующих координат сомножителей,
то уравнение (1 1.7) можно представить как
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) = 0 (11.9)
Мы видим, что получилось уравнение первой степени относительно x и y. Мы
приходим к следующей основной теореме теории прямой линии.
Теорема 11.1. Во всякой системе координат любая прямая зада¨ется уравне-
нием первой ст еп ени, а уравнение первой степени зада¨ет некоторую прямую.
11.3. Общее уравнение прямой и уравнение прямой в отрезках
Преобразуем уравнение (11.9):
Ax + By − Ax
0
− By
0
= 0.
Обозначив −Ax
0
− By
0
= C, получим уравнение прямой в ещ¨е одном виде:
Ax + By + C = 0. (11.10)
Уравнение (11.9) называется общим уравнением прямой на плоскости.
Рассмотрим некоторые особые случаи расположения прямой.
I. C = 0, A 6= 0, B 6= 0 – прямая, определяемая уравнением Ax + By = 0,
проходит через начало координат.
II. A = 0, B 6= 0, C 6= 0 – прямая, определяемая уравнением By + C = 0 (или
y = −C/B = b), параллельна оси Ox.
III. B = 0, A 6= 0, C 6= 0 – прямая, определяемая уравнением Ax + C = 0
(или x = −C/A = b), параллельна оси Oy.
IV. B = C = 0, A 6= 0 – прямая, определяемая уравнением Ax = 0 (или
x = 0), есть ось Oy.
V. A = C = 0, B 6= 0 – прямая, о пределяемая уравнением By = 0 (или
y = 0), есть ось Ox.
VI. A 6= 0, B 6= 0, C 6= 0 – прямая, определяемая уравнением Ax+By +C = 0
не параллельна ни ось Ox, ни оси Oy и не проходит через начало координат.
В последнем случае для более удобного построения общее уравнение прямой
можно разделить на величину (−C). П осле этого оно примет вид
Ax
−C
+
By
−C
= 1.
Это уравнение можно записать как
x
a
+
y
b
= 1, a = −
C
A
, b = −
C
B
. (11.11)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
