ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11. Прямая линия на плоскости 99
Уравнение линии в полярных координатах имеет аналогичный вид:
F (ρ, ϕ) = 0. (10.2)
Если уравнение (10.2) разрешить относительно переменной ρ, то
ρ = f(ϕ).. (10.3)
Именно в форме (1 0.3) уравнение (10 .2) используется в приложениях.
Бывает, что обе координаты, например декартовы, заданы как функции
некоторой третьей переменной, которую можно обозначить через t:
x = ϕ(t), y = ψ(t), . . . (10.4)
Эта переменная является параметром, определяющим положение точки (x, y)
на плоскости; когда изменяется t, точка на плоскости перемещается, описывая
некоторую линию z.
График кривой, задаваемой уравнением с двумя переменными, есть мно-
жество всех точек, координаты которых обращают уравнение в тождество.
Линия, алгебраическое уравнение которой имеет первый порядок, есть пря-
мая.
Линии, порядок уравнения которых два и выше, есть кривые линии.
Например, уравнение x
2
+ y
2
= R
2
— это алгебраическое уравнение второго
порядка; график этой линии в декартовой системе координат — окружность с
центром в начале координат и радиусом R. Уравнение этой линии в полярных
координатах имеет вид
ρ = 2R cos ϕ.
11. Прямая линия на плоскости
11.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
Для того чтобы записать уравнение прямой, необходимо задать точку, через
которую эта прямая проходит, и е¨е направление. Направление можно задать ли-
бо вектором, параллельным этой прямой, либо ещ¨е одной точкой этой прямой.
Пусть M
0
— точка, через которую проходит прямая, и ~s — вектор, задаю-
щий е¨е направление (если задана вторая точка M
1
, то ~s =
−−−→
M
0
M
1
. Выберем на
прямой произвольную точку M, тогда вектор
−−−→
M
0
M принадлежит этой прямой
и, следовательно, коллинеарен вектору ~s, т.е.
−−−→
M
0
M = t~s,
или
~r = ~r
0
+ t~s, (11.1)
где ~r =
−−→
OM, ~r
0
=
−−→
OM
0
— радиус-векторы точек M и M
0
,
Рис. 50.
соответственно, а t — число или параметр, связывающий кол-
линеарные векторы. Изменяя в (11.1) параметр от −∞ до +∞,
мы перебер¨ем все точки M, лежащие на прямой.
От векторной формы уравнения прямой (11.1) можно пе-
рейти к координатной.
Пусть в плоскости xOy (в репере {O,~ı,~}) заданы точки
M
0
(x
0
, y
0
), M(x, y) и ненулевой вектор ~s = (m, n) (рис. 50). Тогда вектор
−−−→
M
0
M
имеет координаты (x − x
0
), (y − y
0
) и из (11.1) следует
x − x
0
= mt, y −y
0
= nt
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
