Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Произведение пяти и шести векторов 97
задающая векторное произведение в этом базисе вместо декартова базиса ~ı,~,
~
k.
Из всех произведений шести векторов мы выделим умножение смешанных произ-
ведений
(~a,
~
b,~c)(
~
d, ~e,
~
f), (9.7)
обобщающее понятие определителя Грама. Действительно, умножив (9.4) скалярно
на вектор
~
f, получим
(~a,
~
b,~c)[(
~
d ×~e) ·
~
f] = (~a,
~
b,~c)(
~
d, ~e,
~
f) =
= (~a ·
~
f)
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~
b ·~e ~c ·~e
− (
~
b ·
~
f)
~a ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e ~c ·~e
+ (~c ·
~
f)
~a ·
~
d
~
b ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e
или
(~a,
~
b,~c)(
~
d, ~e,
~
f) =
~a ·
~
d
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e ~c ·~e
~a ·
~
f
~
b ·
~
f ~c ·
~
f
=
~a ·
~
d ~a ·~e ~a ·
~
f
~
b ·
~
d
~
b ·~e
~
b ·
~
f
~c ·
~
d ~c ·~e ~c ·
~
f
. (9.8)
Эта формула является обобщением понятия определителя Грама, поскольку при ~a =
~
d,
~
b = ~e, ~c =
~
f из (9.8) имеем (~a,
~
b,~c)
2
= Γ(~a,
~
b,~c).
Пример 9.1. Для векторов
~
d = (1, −4, 4), ~e = (1, 0, 1) найти разложение их вектор-
ного произведения в базисе, составленном из векторов ~a = (1, −1, 1),
~
b = (2, 1, −1),
~c = (0, 3, 2).
Решение. То, что векторы ~a,
~
b,~c образуют базис, мы установили в примере 8.3:
(~a,
~
b,~c) =
1 −1 1
2 1 −1
0 3 2
=
3 0 0
2 1 −1
0 3 2
= 15 6= 0.
Чтобы найти искомое разложение, можно вычислить вектор ~r =
~
d ×~e и далее, как в
примере 8.3, использовать формулу (8.16) для произведения четыр¨ех векторов ~a,
~
b,~c, ~r.
Если воспользоваться соотношением (9.6) для произведения пяти векторов ~a,
~
b,~c,
~
d, ~e,
то решение получается гораздо проще:
~
d ×~e =
1
(~a,
~
b,~c)
~a
~
b ~c
~a ·
~
d
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e ~c ·~e
=
1
15
~a
~
b ~c
9 −6 4
2 1 2
= −8~a −26
~
b + 21~c.
Пример 9.2. Для векторов ~a,
~
b,~c из предыдущего примера вычислить смешанное
произведение их векторных произведений ~a ×
~
b,
~
b ×~c, ~c ×~a.
Решение. Из предыдущего примера следует, что векторы ~a,
~
b,~c не являются компла-
нарными, поскольку (~a,
~
b,~c) = 15. Чтобы найти искомое произведение, можно вычис-
лить векторы
~
d = ~a ×
~
b, ~e =
~
b ×~c,
~
f = ~c ×~a и найти их смешанное произведение. Если
же воспользоваться формулой (9.8) для произведения шести векторов ~a,
~
b,~c,
~
d, ~e, то
решение получится гораздо проще:
([~a ×
~
b], [
~
b ×~c], [~c ×~a]) = (
~
d, ~e,
~
f) =
1
(~a,
~
b,~c)
0 (~a,
~
b,~c) 0
0 0 (~a,
~
b,~c)
(~a,
~
b,~c) 0 0
=
= (~a,
~
b,~c)
2
= 15
2
= 225.

Страницы