Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

96 Глава 1. Векторная алгебра
Чтобы найти координаты вектора ~r в базисе ~a,
~
b,~c, можно воспользоваться фор-
мулами (7.20), (7.21) или соотношением (8.16) для произведения четыр¨ех векторов:
~r =
1
(~a,
~
b,~c)
[~a(~r,
~
b,~c) +
~
b(~a, ~r, ~c) + ~c(~a,
~
b, ~r)].
Поскольку
(~r,
~
b,~c) =
1 −4 4
2 1 −1
0 3 2
= 45, (~a, ~r,~c) =
1 −1 1
1 −4 4
0 3 2
= −15, (~a,
~
b, ~r) =
1 −1 1
2 1 −1
1 −4 4
= 0,
то
~r = 3~a −
~
b.
Чтобы найти разложение вектора ~r в базисе ~a ×
~
b, ~a ×~c,
~
b ×~c, можно воспользоваться
выражением (8.20) для произведения четыр¨ех векторов:
~r =
1
(~a,
~
b,~c)
[(~r ·~c)(~a ×
~
b) + (~r ·
~
b)(~a ×~c) + (~r ·~c)(
~
b ×~c)] =
1
15
[−4(~a ×
~
b) −6(~a ×~c) + 9(
~
b ×~c)].
9. Произведение пяти и шести векторов
Сразу отметим, что мы не будем выписывать все возможные произведения такого
числа векторов. При необходимости с помощью формул (8.1)–(8.9) любое произведе-
ние пяти векторов можно свести к линейным комбинациям двух основных произве-
дений
(~a ·
~
b)(~c ·
~
d)~e и (~a,
~
b,~c)(
~
d ·~e), (9.1)
а произведения шести векторов — к основным произведениям вида
(~a ·
~
b)(~c ·
~
d)(~e ·
~
f) и (~a ·
~
b)(~c ·
~
d)(~e ×
~
f). (9.2)
Из всех произведений пяти векторов мы рассмотрим произведения вида
(~a,
~
b,~c)(
~
d ×~e), (9.3)
позволяющие получить разложение векторного произведения
~
d × ~e в произвольном
базисе ~a,
~
b,~c вместо декартова базиса ~ı,~,
~
k. Действительно, применив к (9.3) формулу
(8.15), получим
(~a,
~
b,~c)(
~
d ×~e) = ~a[(
~
b ×~c)(
~
d ×~e)] −
~
b[(~a ×~c)(
~
d ×~e)] + ~c[(~a ×
~
b)(
~
d ×~e)],
откуда с уч¨етом (8.12) найд¨ем
(~a,
~
b,~c)(
~
d ×~e) = ~a
~
b ·
~
d
~
b ·~e
~c ·
~
d ~c ·~e
−
~
b
~a ·
~
d ~a ·~e
~c ·
~
d ~c ·~e
+ ~c
~a ·
~
d ~a ·~e
~
b ·
~
d
~
b ·~e
=
= ~a
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~
b ·~e ~c ·~e
−
~
b
~a ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e ~c ·~e
+ ~c
~a ·
~
d
~
b ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e
(9.4)
или
(~a,
~
b,~c)(
~
d ×~e) =
~a
~
b ~c
~a ·
~
d
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e ~c ·~e
. (9.5)
Если векторы ~a,
~
b,~c не коллинеарны, то их можно рассматривать как трехмерный
базис, а тогда из (9.4) следует формула
~
d ×~e =
1
(~a,
~
b,~c)
~a
~
b ~c
~a ·
~
d
~
b ·
~
d ~c ·
~
d
~a ·~e
~
b ·~e ~c ·~e
, (9.6)

Страницы