Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

94 Глава 1. Векторная алгебра
{(~a ×
~
b) ×~c} ·
~
d = (~a ×
~
b) ·(~c ×
~
d) = (~a ×
~
b,~c,
~
d). (8.11)
Это означает, что произведение (8.8), по сути дела, совпадает с произведением (8.3)
из пункта а).
В дополнение к этому заметим, что первое и второе произведения в пункте а)
представляют собой скаляр и некий вектор соответственно, получаемые из четы-
рех векторов наиболее простым способом. В силу этого их еще называют основными
произведениями четырех вектор ов. Интересно, что оставшиеся произведения можно
представить как линейные комбинации основных произведений, т.е. произведениями
вида (8.1) и (8.2) . Начн¨ем с произведения (8.3).
Расписав в левой части (8.11) двойное векторное произведение, согласно (5.15),
найд¨ем
(~a ×
~
b) ·(~c ×
~
d) = {
~
b(~a ·~c) −~a(
~
b ·~c)}·
~
d = (~a ·~c)(
~
b ·
~
d) − (~a ·
~
d)(
~
b ·~c). (8.12)
Таким образом, произведение (8.3) выражается через основные произведения вида
(8.1).
♦ Если разложение (8.12) записать с помощью определителя, а именно:
(~a ×
~
b) ·(~c ×
~
d) =
~a ·~c ~a ·
~
d
~
b ·~c
~
b ·
~
d
,
то эту формулу можно рассматривать как обобщение определителя Грама, поскольку
при ~a = ~c,
~
b =
~
d имеем (~a ×
~
b)
2
= Γ(~a,
~
b).
Векторное произведение двух векторных произведений можно преобразовать дву-
мя способами.
Во-первых, рассматривая это произведение как двойное векторное произведение
тр¨ех векторов (~a ×
~
b), ~c,
~
d, мы получим
(~a ×
~
b) ×(~c ×
~
d) = ~c ·((~a ×
~
b) ·
~
d) −
~
d((~a ×
~
b) ·~c) = ~c(~a,
~
b,
~
d) −
~
d(~a,~c,
~
d). (8.13)
Во-вторых, рассматривая это же произведение как двойное векторное произведение
трех векторов ~a,
~
b, (~c ×
~
d), мы получим
(~a ×
~
b) × (~c ×
~
d) =
~
b(~a,~c,
~
d) −~a(
~
b,~c,
~
d). (8.14)
Таким образом, векторное произведение двух векторных произведений (8.4) можно
двумя способами (8.13) и (8.14) представить как линейные комбинации вида (8.7).
Сравнив (8.13) и (8.14), найд¨ем
(~a,
~
b,~c)
~
d = ~a(
~
b,~c,
~
d) +
~
b(~c,~a,
~
d) + ~c(~a,
~
b,
~
d). (8.15)
♦ Если ~a,
~
b,~c — некомпланарные векторы, т.е. (~a,
~
b,~c) 6= 0, то из (8.15) следует
формула разложения вектора
~
d в базисе ~a,
~
b,~c:
~
d =
1
(~a,
~
b,~c)
[~a(
~
b,~c,
~
d) +
~
b(~c,~a,
~
d) + ~c(~a,
~
b,
~
d)], (8.16)
совпадающая с формулой (7.20), (7.21), полученной ранее.
Тройное векторное произведение (8.9) так же можно разложить двумя способами.
Во-первых, разложив двойное векторное произведение векторов ~a,
~
b,~c и умножив
его затем векторно на четв¨ертый вектор ~c, получим
[(~a ×
~
b) ×~c] ×
~
d = [
~
b(~a ·~c) −~a(
~
b ·~c)] ×
~
d = (~a ·~c)(
~
b ×
~
d) − (
~
b ·~c)(~a ×
~
d). (8.17)
Эта формула выражает двойное векторное произведение (8.9) через основные произ-
ведения (8.2).
Разложим теперь (8.9) как двойное векторное произведение векторов ~a ×
~
b, ~c,
~
d:
[(~a ×
~
b) ×~c] ×
~
d = ~c[(~a ×
~
b) ·
~
d] − (~a ×
~
b)(~c ·
~
d) = ~c(~a,
~
b,
~
d) − (~a ×
~
b)(~c ·
~
d). (8.18)

Страницы