Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8. Произведение четыр¨ех векторов 93
а кратчайшее расстояние между р¨ебрами DA и BC (7.29):
δ =
s
Γ(~a,
~
b,~c)
Γ(~a,
~
b −~c)
,
поскольку
Γ(~a,
~
b −~c) =
~a ·~a ~a ·(
~
b −~c)
(
~
b −~c) ·~a (
~
b −~c) ·(
~
b −~c)
=
= |~a|
2
[|
~
b|
2
+ |~c|
2
−2(
~
b ·~c) ] − (~a ·
~
b)
2
− (~a ·~c) + 2(~a ·
~
b)(~a ·~c) =
= 4(16 + 9 −12) −16 = 26,
то
δ =
r
288
26
≈ 3,3;
г) объ¨ем пирамиды равен
V =
1
6
q
Γ(~a,
~
b,~c) =
1
6
√
288 ≈ 2,8.
8. Произведение четыр¨ех векторов
Все многообразие произведений четыр¨ех векторов можно получить следующими
двумя способами:
а) умножением произведения двух векторов на произведение двух других векто-
ров:
(~a ·
~
b)(~c ·
~
d); (8.1)
(~a ·
~
b)(~c ×
~
d); (8.2)
(~a ×
~
b) · (~c ×
~
d); (8.3)
(~a ×
~
b) × (~c ×
~
d); (8.4)
и
б) умножением тр¨ех векторов на четв¨ертый:
{(~a ·
~
b)~c} ·
~
d; (8.5)
{(~a ·
~
b)~c} ×
~
d; (8.6)
{(~a ×
~
b) ·~c}
~
d; (8.7)
{(~a ×
~
b) ×~c}·
~
d; ⇒ (8.3) (8.8)
{(~a ×
~
b) ×~c}×
~
d. (8.9)
Очевидно, что не все выписанные произведения различны между собой. Действи-
тельно, учитывая, что скалярный множитель можно выносить за знак скалярного и
векторного произведений, можно заметить, что первые два произведения из пункта
б), т.е. (8.5) и (8.6), совпадают с двумя первыми произведениями из пункта а):
{(~a ·
~
b)~c} ·
~
d = (~a ·
~
b)(~c ·
~
d),
{(~a ·
~
b)~c} ×
~
d = (~a ·
~
b)(~c ×
~
d).
(8.10)
Далее рассмотрим в (8.8) векторное произведение ~a ×
~
b = ~e как один вектор. Тогда
произведение (8.8) является смешанным произведением тр¨ех векторов: ~a×
~
b, ~c,
~
d, кото-
рое обладает свойством ассоциативности, позволяющим поменять местами векторное
и скалярное произведения, т.е.

Страницы