Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

92 Глава 1. Векторная алгебра
♦ Все полученные формулы, позволяющие рассчитать характеристики тет-
раэдра, в итоге содержат только скалярные произведения образующих тетра-
эдр векторов. Скалярные произведения являются числами (инвариантами), не
изменяются при преобразованиях базисных векторов и, следовательно, содер-
жащие их определители Грама также не меняются, а поэтому полученные выше
формулы остаются справедливыми в любой системе координат.
Пример 7.3. Дана пирамида DABC. Длина р¨ебер пирамиды, выходящих из
вершины D, равна: DA = 2, DB = 4, DC = 4, а углы между ними, соответ-
ственно, ∠ADB = 2π/3 , ∠BDC = π/3, ∠CDA = π/2. Методами векторной
алгебры найти:
а) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC и кратчайшее рас-
стояние между р¨ебрами BA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
Решение. На р¨ебрах пирамиды построим векторы
−−→
DA = ~a,
−−→
DB =
~
b,
−−→
DC = ~c.
Воспользуемся рис. 49 и введ¨енными там обозначениями. Для удобства даль -
нейших вычислений предварительно найд¨ем определитель Грама:
Γ(~a,
~
b,~c) =
~a ·~a ~a ·
~
b ~a ·~c
~
b ·~a
~
b ·
~
b
~
b ·~c
~c ·~a ~c ·
~
b ~c ·~c
=
4 −4 0
−4 16 6
0 6 9
= 288, (7.30)
Γ(~a,
~
b) =
4 −4
−4 16
= 48, Γ(~a,~c) =
4 0
0 9
= 36, Γ(
~
b,~c) =
16 6
6 9
= 108.
Соотношение (7.30) позволяет воспользоваться формулами (7.2 4)–(7.29):
a) |AB| = |
−→
AB| = |
~
b −~a| =
q
|~a|
2
+ |
~
b|
2
− 2(~a ·
~
b) =
√
4 + 16 + 8 =
√
28;
cos β = cos(∠ABC) =
~a ·~c −~a ·
~
b −
~
b ·~c + |
~
b|
2
q
|~a|
2
+ |
~
b|
2
− 2(~a ·
~
b)
q
|
~
b|
2
+ |~c|
2
−2(
~
b ·~c)
=
=
0 − (−4) − 6 + 16
√
4 + 16 + 8
√
16 + 9 − 12
=
14
√
364
≈ 0,73, ∠ABC ≈ 42
◦
;
б) двугранный угол ϕ при ребре DA, согласно (7 .26), равен
cos ϕ =
(
~
b ·~c)|~a|
2
−(~a ·~c)(~a ·
~
b)
Γ(~a,
~
b)Γ(~a,~c)
=
6 · 4 − 0
√
48
√
36
=
1
√
3
≈ 0,57, ϕ ≈ 57
◦
,
а угол ψ между ребром DA и гранью DBC, в силу (7.27), найд¨ется как
sin ψ =
1
|~a|
s
Γ(~a,
~
b,~c)
Γ(
~
b,~c)
=
1
2
r
288
108
≈ 0,81, ψ ≈ 55
◦
;
в) длина h высоты, опущенной из точки A на грань DBC (7.28) равна
h =
s
Γ(~a,
~
b,~c)
Γ(
~
b,~c)
=
r
288
108
≈ 1,62,

Страницы