ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8. Произведение четыр¨ех векторов 95
Эта формула дает второе разложение тройного векторного произведения (8.9).
Представление оставшегося в (8.8) произведения (~a,
~
b,~c)
~
d через основные произ-
ведения (8.2) можно получить из сравнения (8.17) и (8.18). Действительно,
(~a ·~c)(
~
b ×
~
d) − (
~
b ·~c)(~a ×
~
d) = (~a,
~
b,
~
d)~c − (~c ·
~
d)(~a ×
~
b),
откуда следует
(~a,
~
b,
~
d)~c = (~a ·~c)(
~
b ×
~
d) − (
~
b ·~c)(~a ×
~
d) + (~c ·
~
d)(~a ×
~
b)
или
(~a,
~
b,
~
d)~c = (~c ·~a)(
~
b ×
~
d) + (~c ·
~
b)(~a ×
~
d) + (~c ·
~
d)(~a ×
~
b).
Выполнив в этом равенстве формальную замену
~
d ↔ ~c, получим равенство
(~a,
~
b,~c)
~
d = (
~
d ·~a)(
~
b ×~c) + (
~
d ·
~
b)(~a ×~c) + (
~
d ·~c)(~a ×
~
b), (8.19)
выражающее произведение (8.7) через основные произведения (8.1).
Формула (8.19) замыкает перечень формул, выражающих все пр оизведения четы-
рех векторов через основные произведения (8.1) и (8.2).
♦ Если векторы ~a,
~
b,~c некомпланарны, т.е. (~a,
~
b,~c) 6= 0, то из (8.19) получим фор-
мулу для разложения произвольного вектора
~
d по тр¨ем векторным произведениям
этих векторов:
~
d =
1
(~a,
~
b,~c)
[(
~
d ·~a)(
~
b ×~c) + (
~
d ·
~
b)(~a ×~c) + (
~
d ·~c)(~a ×
~
b)]. (8.20)
Пример 8.1. Векторы ~a,
~
b,
~
d имеют длину |~a| = 2, |
~
b| = 1, |
~
d| = 2, соответственно, и
образуют друг с другом равные углы π/3. Найти скалярное произведение векторов
(~a ×
~
b) · (~a ×
~
d).
Решение задачи можно получить, воспользовавшись соотношением (8.12) для про-
изведения четыр¨ех векторов. Действительно, положив в (8.12) ~a = ~c, найд¨ем
(~a ×
~
b) · (~a ×
~
d) =
~a ·~a ~a ·
~
d
~a ·
~
b
~
b ·
~
d
=
4 2
1 1
= 2.
Пример 8.2. Для векторов ~a = (1, −1, 1),
~
b = (2, 1, −1),
~
d = (0, 3, 2) найти векторное
произведение векторов
(~a ×
~
b) ×(~a ×
~
d).
Решение. Проще всего воспользоваться сооношением (8.14) для произведения че-
тыр¨ех векторов. Действительно, положив в (8.14) ~a = ~c, найд¨ем
(~a ×
~
b) ×(~a ×
~
d) =
~
b(~a,~a,
~
d) −~a(
~
b,~a,
~
d) = −~a
2 1 −1
1 −1 1
0 3 2
= 15~a.
Пример 8.3. Доказать, что векторы ~a = (1, −1, 1),
~
b = (2, 1, −1), ~c = (0, 3, 2) об-
разуют базис. Найти разложение вектора ~r = (1, −4, 4) в этом базисе и в базисе,
составленном из векторов ~a ×
~
b, ~a ×~c,
~
b ×~c.
Решение. Векторы ~a,
~
b,~c образуют базис, если их смешанное произведение отлично
от нуля. Поскольку
(~a,
~
b,~c) =
1 −1 1
2 1 −1
0 3 2
=
3 0 0
2 1 −1
0 3 2
= 15 6= 0,
то векторы образуют базис.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
