Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 351 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 351
Вариант № 3
3.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= 0,5, а точка M
2
делит диагональ
−−→
AB в отношении
λ
2
= 3. Выразить векторы
−−→
BM
1
,
−−→
AM
1
,
−−→
DM
2
,
−−→
CM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
3.2. Решить задачу 3.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(3, 10), B(−2, 3), C(−6, 0).
3.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
−→
CA = ~a + 4
~
b,
−−→
CB = 2~a −
~
b,
где |~a| = 7, |
~
b| = 2, (
b
~a
~
b) = π/3. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
3.4. Решить задачу 3.3 при условии, что треугольник ABC задан своими верши-
нами A(3, 10, −1), B(−2, 3, −5), C(−6, 0, 3).
3.5. Доказать, что векторы ~a = (0, 1, 2),
~
b = (1, 0, 1), ~c = (−1, 2, 4) образуют базис.
Найти разложение вектора ~r = (−2, 4, 7) в этом базисе.
3.6. Решить векторное уравнение
−2~x + ~a ×~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 3.5.
3.7. Решить систему векторных уравнений
~a × ~x =
~
b,
~c · ~x = 4,
выбрав векторы ~a,~c из условия задачи 3.5 и
~
b = 2, −2, 1).
3.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 3, DB = 4, DC = 2, а углы между ними, соответственно, ∠ADB = π/3,
∠BDC = π/4, ∠CDA = π/4. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
3.9. Решить задачу 3.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется коорди-
натами D(−1, −1, 2), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из
задачи 3.4.
3.10. Для треугольника ABC из задачи 3.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое — в нормальной форме и третье — уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
3.11. Для пирамиды из задачи 3.9 найти:

Страницы