Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 355 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 355
Вариант № 5
5.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= 0,25, а точка M
2
делит диагональ
−−→
AB в отношении
λ
2
= 2. Выразить векторы
−−→
BM
1
,
−−→
AM
1
,
−−→
DM
2
,
−−→
CM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
5.2. Решить задачу 5.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(5, 2), B(2, 5), C(1, 2).
5.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
−→
CA = 6~a −
~
b,
−−→
CB = 5~a +
~
b,
где |~a| = 0,5, |
~
b| = 4, (
b
~a
~
b) = 5π/6. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
5.4. Решить задачу 5.3 при условии, что треугольник ABC задан своими верши-
нами A(5, 2, 0), B(2, 5, 0), C(1, 2, 4).
5.5. Доказать, что векторы ~a = (2, 1, 0),
~
b = (1, 0, 1), ~c = (4, 2, 1) образуют базис.
Найти разложение вектора ~r = (3, 1, 3) в этом базисе.
5.6. Решить векторное уравнение
3~x + ~a × ~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 5.5.
5.7. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c · ~x = −3,
выбрав векторы ~a,~c из условия задачи 5.5 и
~
b = 1, −2, 1).
5.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 2, DB = 4, DC = 5, а углы между ними, соответственно, ∠ADB = π/2,
∠BDC = π/3, ∠ CDA = π/3. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
5.9. Решить задачу 5.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется координа-
тами D(−1, 1, 1), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из задачи
5.4.
5.10. Для треугольника ABC из задачи 5.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое — в нормальной форме и третье — уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
5.11. Для пирамиды из задачи 5.9 найти:

Страницы