Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 371
Вариант № 13
13.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= −1,4, а точка M
2
делит диагональ
−−→
AB в отношении
λ
2
= 2. Выразить векторы
−−→
BM
1
,
−−→
AM
1
,
−−→
DM
2
,
−−→
CM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
13.2. Решить задачу 13.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(−3, −5), B(2, 1), C(0, −3).
13.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
−→
CA = 2~a + 3
~
b,
−−→
CB = ~a −2
~
b,
где |~a| = 2, |
~
b| = 1, (
b
~a
~
b) = π/3. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
13.4. Решить задачу 13.3 при условии, что треугольник ABC задан своими вер-
шинами A(−3, −5, 6), B(2, 1, −4), C(0, −3, − 1).
13.5. Доказать, что векторы ~a = (0, 3, 1),
~
b = (1, −1, 2), ~c = (2, −1, 0) образуют
базис. Найти разложение вектора ~r = (−1, 7, 0) в этом базисе.
13.6. Решить векторное уравнение
−3~x + ~a ×~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 13.5.
13.7. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = 6,
выбрав векторы ~a,~c из условия задачи 13.5 и
~
b = (1, −1, 3).
13.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 5, DB = 2, DC = 3, а углы между ними, соответственно, ∠ADB = π/6,
∠BDC = π/4, ∠CDA = π/6. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
13.9. Решить задачу 13.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется коор-
динатами D(−5, 2, −8), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из
задачи 13.4.
13.10. Для треугольника ABC из задачи 13.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое — в нормальной форме и третье — уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
13.11. Для пирамиды из задачи 13.9 найти:

Страницы