Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 375 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 375
Вариант № 15
15.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= −1/2, а точка M
2
делит диагональ
−−→
AB в отношении
λ
2
= 4. Выразить векторы
−−→
BM
1
,
−−→
AM
1
,
−−→
DM
2
,
−−→
CM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
15.2. Решить задачу 15.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(1, 1), B(1, −1), C(2, 1).
15.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
−→
CA = 3~a +
~
b,
−−→
CB = 2~a −3
~
b,
где |~a| = 1, |
~
b| = 4, (
b
~a
~
b) = π/6. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
15.4. Решить задачу 15.3 при условии, что треугольник ABC задан своими вер-
шинами A(1, 1, 4), B(1, −1, 2), C(2, 1, 2).
15.5. Доказать, что векторы ~a = (0, 1, 3),
~
b = (1, 2, −1), ~c = (2, 0, −1) образуют
базис. Найти разложение вектора ~r = (3, 1, 8) в этом базисе.
15.6. Решить векторное уравнение
~x + ~a ×~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 15.5.
15.7. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = 8,
выбрав векторы ~a,~c из условия задачи 15.5 и
~
b = (1, 3, −1).
15.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 4, DB = 3, DC = 2, а углы между ними, соответственно, ∠ADB = π/4,
∠BDC = π/3, ∠CDA = π/4. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
15.9. Решить задачу 15.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется коор-
динатами D(6, −3, 8), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из
задачи 15.4.
15.10. Для треугольника ABC из задачи 15.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое — в нормальной форме и третье — уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
15.11. Для пирамиды из задачи 15.9 найти:

Страницы